Номер 160, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ проведена окружность, пересекающая стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Докажите, что треугольники $ABC$ и $PBK$ подобны. Найдите стороны $AB$ и $BC$, если $PB = 4$ см, $BK = 5$ см, $PK = 6$ см, $AC = 18$ см.

160. Через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ проведена окружность, пересекающая стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Докажите, что треугольники $ABC$ и $PBK$ подобны. Найдите стороны $AB$ и $BC$, если $PB = 4$ см, $BK = 5$ см, $PK = 6$ см, $AC = 18$ см.

Докажите, что треугольники ABC и PBK подобны.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $PBK$.

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников, то есть $\angle ABC = \angle PBK$.

2. По условию, через точки $A$ и $C$ проходит окружность, которая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Это означает, что точки $A$, $P$, $K$, $C$ лежат на одной окружности, а четырехугольник $APKC$ является вписанным в окружность.

3. Одно из свойств вписанного четырехугольника гласит, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle PAC + \angle PKC = 180^\circ$.

4. Углы $\angle BKP$ и $\angle PKC$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $BC$. Таким образом, их сумма также равна $180^\circ$: $\angle BKP + \angle PKC = 180^\circ$.

5. Сравнивая два последних равенства, получаем: $\angle BKP = 180^\circ - \angle PKC$ и $\angle PAC = 180^\circ - \angle PKC$. Отсюда следует, что $\angle BKP = \angle PAC$.

6. Так как точка $P$ лежит на стороне $AB$, то угол $\angle PAC$ совпадает с углом $\angle BAC$. Значит, $\angle BKP = \angle BAC$.

Таким образом, в треугольниках $ABC$ и $PBK$ есть две пары равных углов: $\angle ABC = \angle PBK$ (общий угол) и $\angle BAC = \angle BKP$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $PBK$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Важно отметить правильное соответствие вершин: $\triangle ABC \sim \triangle KBP$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Найдите стороны AB и BC, если PB = 4 см, BK = 5 см, PK = 6 см, AC = 18 см.

Из доказанного подобия треугольников ($\triangle ABC \sim \triangle KBP$) следует, что их соответствующие стороны пропорциональны:

$\frac{AB}{KB} = \frac{BC}{BP} = \frac{AC}{KP}$

Подставим известные значения в это соотношение. Нам дано: $PB = 4$ см, $BK = 5$ см, $PK = 6$ см и $AC = 18$ см. (Заметим, что $BP=PB, KB=BK, KP=PK$).

Сначала найдем коэффициент подобия $k$, используя отношение известных сторон $AC$ и $KP$:

$k = \frac{AC}{KP} = \frac{18}{6} = 3$

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти длины сторон $AB$ и $BC$:

Из соотношения $\frac{AB}{KB} = k$ получаем:

$\frac{AB}{5} = 3 \Rightarrow AB = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Из соотношения $\frac{BC}{BP} = k$ получаем:

$\frac{BC}{4} = 3 \Rightarrow BC = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Ответ: $AB = 15$ см, $BC = 12$ см.