Номер 162, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. В треугольнике $ABC$ проведена высота $CE$. Известно, что $AE = 2$ см, $BE = 8$ см, $CE = 4$ см. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

162. В треугольнике $ABC$ проведена высота $CE$. Известно, что $AE = 2$ см, $BE = 8$ см, $CE = 4$ см. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

Поскольку $CE$ является высотой в треугольнике $ABC$, проведенной к стороне $AB$, то $CE$ перпендикулярна $AB$ ($CE \perp AB$). Это означает, что $\angle AEC = 90^{\circ}$ и $\angle BEC = 90^{\circ}$, и, следовательно, треугольники $AEC$ и $BEC$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AEC$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае $AC$ — гипотенуза, а $AE$ и $CE$ — катеты. Найдем квадрат длины стороны $AC$:
$AC^2 = AE^2 + CE^2$
Подставив известные значения, получим:
$AC^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BEC$. Аналогично, по теореме Пифагора, где $BC$ — гипотенуза, а $BE$ и $CE$ — катеты, найдем квадрат длины стороны $BC$:
$BC^2 = BE^2 + CE^2$
Подставив известные значения, получим:
$BC^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$.

Длина стороны $AB$ треугольника $ABC$ равна сумме длин отрезков $AE$ и $BE$, так как точка $E$ лежит на стороне $AB$:
$AB = AE + BE = 2 + 8 = 10$ см.
Тогда квадрат длины стороны $AB$ равен:
$AB^2 = 10^2 = 100$.

Чтобы доказать, что $\angle ACB = 90^{\circ}$, необходимо проверить, выполняется ли для треугольника $ABC$ равенство из теоремы, обратной теореме Пифагора. Эта теорема гласит: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным. Проверим равенство $AB^2 = AC^2 + BC^2$:
$AC^2 + BC^2 = 20 + 80 = 100$.
Мы видим, что $AB^2 = 100$ и $AC^2 + BC^2 = 100$.

Так как $AB^2 = AC^2 + BC^2$, то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ABC$ является прямоугольным. Угол, лежащий напротив наибольшей стороны (гипотенузы) $AB$, является прямым. Этим углом является $\angle ACB$. Таким образом, $\angle ACB = 90^{\circ}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $\angle ACB = 90^{\circ}$, доказано.