Номер 166, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Найдите высоту и боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 10 см и 8 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

166. Найдите высоту и боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 10 см и 8 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, AB и CD — боковые стороны.

По условию задачи имеем: большее основание $AD = 10$ см; меньшее основание $BC = 8$ см. Трапеция равнобокая, следовательно, боковые стороны равны: $AB = CD$. Обозначим их длину как $c$. Диагональ перпендикулярна боковой стороне, например, $AC \perp CD$. Это означает, что треугольник ACD является прямоугольным с прямым углом при вершине C ($∠ACD = 90°$).

Проведем высоту CH из вершины C к основанию AD. Так как трапеция равнобокая, отрезок HD, который является проекцией боковой стороны CD на большее основание, можно найти по формуле:

$HD = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим известные значения:

$HD = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. В этом треугольнике AD является гипотенузой, а CH — это высота, проведенная из вершины прямого угла C к гипотенузе AD. Эта высота делит гипотенузу на отрезки AH и HD.

Найдем длину отрезка AH:

$AH = AD - HD = 10 - 1 = 9$ см.

Согласно свойству высоты в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$CH^2 = AH \cdot HD$

Пусть высота трапеции $h = CH$. Тогда:

$h^2 = 9 \cdot 1 = 9$

$h = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: высота трапеции равна 3 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Он образован высотой CH, отрезком HD и боковой стороной CD. Угол $∠CHD$ прямой.

В этом треугольнике CH и HD — катеты, а CD — гипотенуза. Нам известны длины катетов: $CH = h = 3$ см и $HD = 1$ см. Боковая сторона трапеции $c = CD$.

По теореме Пифагора:

$CD^2 = CH^2 + HD^2$

Подставим известные значения:

$c^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$

$c = \sqrt{10}$ см.

Ответ: боковая сторона трапеции равна $\sqrt{10}$ см.