Номер 159, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Подобны ли треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BDC$, изображённые на рисунке $71$ (длины отрезков даны в сантиметрах)?

Рис. $71$

$36$

$20$

$18$

$9$

$10$

159. Подобны ли треугольники $ABD$ и $BDC$, изображённые на рисунке 71 (длины отрезков даны в сантиметрах)?

Рис. 71

Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ABD$ и $BDC$, проверим пропорциональность их сторон. Этот метод основывается на третьем признаке подобия треугольников (по трем сторонам), который гласит: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Выпишем длины сторон каждого треугольника из данных на рисунке:

Для треугольника $ABD$:

• $AB = 36$
• $AD = 20$
• $BD = 18$

Для треугольника $BDC$:

• $BD = 18$
• $BC = 10$
• $DC = 9$

Чтобы проверить пропорциональность, нужно сопоставить соответствующие стороны. Обычно сопоставляют наибольшую сторону одного треугольника с наибольшей стороной другого, среднюю со средней и наименьшую с наименьшей.

Расположим стороны каждого треугольника в порядке убывания длины:

• $\triangle ABD$: $AB (36) > AD (20) > BD (18)$
• $\triangle BDC$: $BD (18) > BC (10) > DC (9)$

Теперь найдем отношения длин соответствующих сторон:

• Отношение наибольших сторон: $\frac{AB}{BD} = \frac{36}{18} = 2$
• Отношение средних сторон: $\frac{AD}{BC} = \frac{20}{10} = 2$
• Отношение наименьших сторон: $\frac{BD}{DC} = \frac{18}{9} = 2$

Все три отношения равны одному и тому же числу, которое является коэффициентом подобия $k=2$.

$\frac{AB}{BD} = \frac{AD}{BC} = \frac{BD}{DC} = 2$

Поскольку все соответствующие стороны треугольников $ABD$ и $BDC$ пропорциональны, эти треугольники подобны по третьему признаку подобия.

Ответ: да, треугольники $ABD$ и $BDC$ подобны.