Номер 154, страница 55 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 69, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 69

$AB = 12$

$AC = 9$

$\angle A = 72^\circ$

$A_1B_1 = 8$

$A_1C_1 = 6$

$\angle A_1 = 72^\circ$

154. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 69, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 69

Треугольник $ABC$: $AB = 12$, $AC = 9$, $\angle A = 72^\circ$.

Треугольник $A_1B_1C_1$: $A_1B_1 = 8$, $A_1C_1 = 6$, $\angle A_1 = 72^\circ$.

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся вторым признаком подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Согласно этому признаку, два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны.

Из рисунка нам известны следующие данные:

Для треугольника $ABC$: стороны $AB = 12$ см, $AC = 9$ см, и угол между ними $\angle A = 72^\circ$.

Для треугольника $A_1B_1C_1$: стороны $A_1B_1 = 8$ см, $A_1C_1 = 6$ см, и угол между ними $\angle A_1 = 72^\circ$.

1. Сравнение углов.

Сравним углы, заключённые между указанными сторонами: $\angle A = 72^\circ$ и $\angle A_1 = 72^\circ$.
Следовательно, $\angle A = \angle A_1$.

2. Проверка пропорциональности сторон.

Проверим, пропорциональны ли стороны, образующие эти равные углы. Для этого найдём отношения длин соответственных сторон:

Отношение сторон $AB$ и $A_1B_1$:
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Отношение сторон $AC$ и $A_1C_1$:
$\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Так как $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{3}{2}$, то стороны пропорциональны.

Поскольку угол $\angle A$ в треугольнике $ABC$ равен углу $\angle A_1$ в треугольнике $A_1B_1C_1$, и стороны, прилежащие к этим углам, пропорциональны, то треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны по второму признаку подобия.

Ответ: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, так как у них есть по равному углу ($\angle A = \angle A_1 = 72^\circ$), а стороны, образующие эти углы, пропорциональны ($\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{3}{2}$), что соответствует второму признаку подобия треугольников. Что и требовалось доказать.