Номер 150, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

150. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $K$, $CK = 6$ см, $DK = 8$ см, а отрезок $AK$ в 3 раза больше отрезка $BK$. Найдите отрезки $AK$ и $BK$.

150. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $K$, $CK = 6$ см, $DK = 8$ см, а отрезок $AK$ в 3 раза больше отрезка $BK$. Найдите отрезки $AK$ и $BK$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности. Теорема о пересекающихся хордах гласит, что произведения отрезков, на которые точка пересечения делит хорды, равны между собой.

Для хорд $AB$ и $CD$, пересекающихся в точке $K$, это свойство записывается в виде формулы: $AK \cdot BK = CK \cdot DK$

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

• $CK = 6$ см
• $DK = 8$ см
• Отрезок $AK$ в 3 раза больше отрезка $BK$, то есть $AK = 3 \cdot BK$

Сначала вычислим произведение отрезков хорды $CD$: $CK \cdot DK = 6 \cdot 8 = 48$ см².

Теперь, используя теорему, мы можем записать: $AK \cdot BK = 48$

Пусть длина отрезка $BK$ равна $x$ см. Тогда, согласно условию, длина отрезка $AK$ будет $3x$ см.

Подставим эти выражения в наше уравнение: $(3x) \cdot x = 48$

Решим полученное уравнение: $3x^2 = 48$ $x^2 = \frac{48}{3}$ $x^2 = 16$

Так как длина отрезка может быть только положительным числом, находим значение $x$: $x = \sqrt{16} = 4$

Таким образом, длина отрезка $BK$ составляет 4 см. $BK = 4$ см.

Теперь найдем длину отрезка $AK$: $AK = 3 \cdot BK = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Проверим наше решение: $AK \cdot BK = 12 \cdot 4 = 48$ см², что совпадает с $CK \cdot DK = 6 \cdot 8 = 48$ см².

Ответ: $AK = 12$ см, $BK = 4$ см.