Номер 153, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

153. Через точку $M$ проведены к окружности касательная $MA$ ($A$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ (точка $B$ лежит между точками $M$ и $C$). Найдите отрезок $MB$, если $AM = 18$ см и $MB : BC = 4 : 5$.

153. Через точку $M$ проведены
к окружности касательная
$MA$ ($A$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ (точка $B$ лежит между точками $M$ и $C$). Найдите отрезок $MB$, если $AM = 18$ см
и $MB : BC = 4 : 5$.

Для решения данной задачи используется теорема о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от этой же точки до ее точек пересечения с окружностью. Это можно записать в виде формулы: $AM^2 = MB \cdot MC$.

По условию задачи дано: $AM = 18$ см и $MB : BC = 4 : 5$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины отрезков можно выразить как $MB = 4x$ и $BC = 5x$.

Так как точка $B$ находится между точками $M$ и $C$, длина всего отрезка секущей $MC$ равна сумме длин ее частей: $MC = MB + BC = 4x + 5x = 9x$.

Теперь подставим известные значения и выражения в формулу теоремы:
$AM^2 = MB \cdot MC$
$18^2 = (4x) \cdot (9x)$
$324 = 36x^2$

Решим полученное уравнение для нахождения $x$:
$x^2 = \frac{324}{36}$
$x^2 = 9$
Поскольку длина отрезка является положительной величиной, $x$ также должен быть положительным: $x = \sqrt{9} = 3$.

Наконец, найдем длину искомого отрезка $MB$, подставив найденное значение $x$:
$MB = 4x = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Ответ: 12 см.