Номер 146, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из диагоналей на отрезки длиной 7 см и 11 см. Найдите основания трапеции, если их разность равна 16 см.

146. Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из диагоналей на отрезки длиной 7 см и 11 см. Найдите основания трапеции, если их разность равна 16 см.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, и пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

Треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей, подобны. Это следует из того, что основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), а углы при этих основаниях являются внутренними накрест лежащими при пересечении параллельных прямых секущими-диагоналями ($\angle BCA = \angle CAD$ и $\angle CBD = \angle BDA$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OA} = \frac{OB}{OD} $

По условию, точка пересечения $O$ делит одну из диагоналей (пусть это будет $AC$) на отрезки длиной 7 см и 11 см. Меньший отрезок ($OC$) прилегает к меньшему основанию ($BC$), а больший отрезок ($OA$) — к большему основанию ($AD$). Следовательно, $OC = 7$ см и $OA = 11$ см.

Пусть длина меньшего основания $BC = b$, а большего $AD = a$. Тогда из пропорции имеем: $ \frac{b}{a} = \frac{OC}{OA} = \frac{7}{11} $

Также по условию задачи разность длин оснований равна 16 см, то есть: $ a - b = 16 $

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} \frac{b}{a} = \frac{7}{11} \\ a - b = 16 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $a$: $a = b + 16$. Подставим это выражение в первое уравнение: $ \frac{b}{b + 16} = \frac{7}{11} $

Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции: $ 11 \cdot b = 7 \cdot (b + 16) $ $ 11b = 7b + 112 $ $ 11b - 7b = 112 $ $ 4b = 112 $ $ b = \frac{112}{4} = 28 $ (см)

Теперь найдем длину большего основания $a$: $ a = b + 16 = 28 + 16 = 44 $ (см)

Таким образом, основания трапеции равны 28 см и 44 см.

Ответ: 28 см и 44 см.