Номер 147, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

147. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $K$ — точка пересечения диагоналей, $AK : KC = 9 : 4$, $KD - BK = 10$ см. Найдите диагональ $BD$ трапеции.

147. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $K$ — точка пересечения диагоналей, $AK : KC = 9 : 4$, $KD - BK = 10$ см. Найдите диагональ $BD$ трапеции.

Рассмотрим треугольники $ \triangle AKD $ и $ \triangle CKB $, образованные пересечением диагоналей трапеции.

Поскольку $BC \parallel AD$ (как основания трапеции), то:

• $ \angle KAD = \angle KCB $ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.
• $ \angle KDA = \angle KBC $ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$.

Следовательно, треугольники $ \triangle AKD $ и $ \triangle CKB $ подобны по двум углам (первый признак подобия).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$ \frac{AK}{KC} = \frac{KD}{KB} = \frac{AD}{CB} $

По условию задачи дано отношение $ AK : KC = 9 : 4 $, значит $ \frac{AK}{KC} = \frac{9}{4} $.

Тогда и отношение отрезков второй диагонали будет таким же:

$ \frac{KD}{KB} = \frac{9}{4} $

Отсюда можно выразить $KD$ через $KB$:

$ KD = \frac{9}{4} KB $

Также по условию нам известно, что $ KD - BK = 10 $ см. Подставим в это уравнение выражение для $KD$:

$ \frac{9}{4} KB - KB = 10 $

Вынесем $KB$ за скобки:

$ KB \left( \frac{9}{4} - 1 \right) = 10 $

$ KB \left( \frac{9 - 4}{4} \right) = 10 $

$ KB \cdot \frac{5}{4} = 10 $

Теперь найдем длину отрезка $KB$:

$ KB = 10 \cdot \frac{4}{5} = 2 \cdot 4 = 8 $ см.

Зная $KB$, найдем длину отрезка $KD$:

$ KD = KB + 10 = 8 + 10 = 18 $ см.

Диагональ $BD$ состоит из двух отрезков $BK$ и $KD$. Найдем ее длину:

$ BD = BK + KD = 8 + 18 = 26 $ см.

Ответ: 26 см.