Номер 141, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

141. На рисунке 65 $\angle MND = \angle FDN$. Подобны ли треугольники MNA и FDA? В случае положительного ответа укажите пары соответственных сторон.

Рис. 65

141. На рисунке 65 $\angle MND = \angle FDN$. Подобны ли треугольники $MNA$ и $FDA$? В случае положительного ответа укажите пары соответственных сторон.

Рис. 65

Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $MNA$ и $FDA$, воспользуемся признаком подобия треугольников по двум углам. Для этого необходимо найти две пары равных углов в этих треугольниках.

1. Рассмотрим углы при вершине $A$. Углы $ \angle MAN $ и $ \angle FAD $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $MF$ и $ND$. По свойству вертикальных углов, они равны: $ \angle MAN = \angle FAD $.

2. Согласно условию задачи и отметкам на рисунке, $ \angle MNA = \angle FDA $. (В тексте условия дано равенство $ \angle MND = \angle FDN $, что, судя по изображению, является опечаткой, и имеются в виду именно углы $ \angle MNA $ и $ \angle FDA $).

Так как два угла одного треугольника ($ \triangle MNA $) соответственно равны двум углам другого треугольника ($ \triangle FDA $), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Следовательно, $ \triangle MNA \sim \triangle FDA $.

Теперь укажем пары соответственных сторон. В подобных треугольниках соответственные стороны — это стороны, лежащие напротив равных углов.
- Стороны $MA$ и $FA$ лежат напротив равных углов $ \angle MNA $ и $ \angle FDA $.
- Стороны $NA$ и $DA$ лежат напротив равных третьих углов $ \angle NMA $ и $ \angle DFA $.
- Стороны $MN$ и $FD$ лежат напротив равных вертикальных углов $ \angle MAN $ и $ \angle FAD $.

Ответ: Да, треугольники $MNA$ и $FDA$ подобны. Пары соответственных сторон: $MA$ и $FA$; $NA$ и $DA$; $MN$ и $FD$.