Номер 136, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Найдите подобные треугольники на рисунке 63, если известно, что $CD \parallel AK$. Запишите пропорции, начинающиеся с отношения:

1) $\frac{BC}{BA}$;

2) $\frac{AK}{CD}$.

Рис. 63

136. Найдите подобные треугольники на рисунке 63, если известно, что $CD \parallel AK$. Запишите пропорции, начинающиеся с отношения:

1) $\frac{BC}{BA}$;

2) $\frac{AK}{CD}$.

Рис. 63

Рассмотрим треугольники $ΔBCD$ и $ΔBAK$. По условию задачи прямая $CD$ параллельна прямой $AK$ ($CD \parallel AK$).

Докажем, что эти треугольники подобны, используя первый признак подобия (по двум равным углам):

• Угол $B$ (или $\angle B$) является общим для обоих треугольников.
• Углы $\angle BCD$ и $\angle BAK$ являются соответственными при параллельных прямых $CD$ и $AK$ и секущей $AB$. Следовательно, эти углы равны: $\angle BCD = \angle BAK$.

Поскольку два угла одного треугольника ($ΔBCD$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($ΔBAK$), то эти треугольники подобны: $ΔBCD \sim ΔBAK$.

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$\frac{BC}{BA} = \frac{BD}{BK} = \frac{CD}{AK}$

Используя это свойство, запишем требуемые пропорции.

1)

Пропорция, начинающаяся с отношения $\frac{BC}{BA}$, прямо следует из установленной пропорциональности сторон подобных треугольников.

Ответ: $\frac{BC}{BA} = \frac{BD}{BK} = \frac{CD}{AK}$

2)

Чтобы записать пропорцию, начинающуюся с отношения $\frac{AK}{CD}$, необходимо взять обратные отношения для каждой из частей в исходной пропорции.

Ответ: $\frac{AK}{CD} = \frac{BA}{BC} = \frac{BK}{BD}$