Номер 138, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $DECM$ (рис. 64). Найдите сторону $BC$ треугольника, если $AC = 10$ см, $MC = 4$ см, $DM = 9$ см.

Рис. 64

 B / \ D---E / \A-------C M

138. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $DECM$ (рис. 64). Найдите сторону $BC$ треугольника, если $AC = 10$ см, $MC = 4$ см, $DM = 9$ см.

Поскольку четырёхугольник $DECM$ является параллелограммом, его противолежащие стороны параллельны. В частности, сторона $DM$ параллельна стороне $EC$. Так как точки $E$ и $C$ лежат на прямой $BC$, то прямая $DM$ параллельна прямой $BC$ ($DM \parallel BC$).

Рассмотрим треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle ABC$. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников. Углы $\angle ADM$ и $\angle ABC$ равны как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых $DM$ и $BC$ секущей $AB$.

Таким образом, треугольник $\triangle ADM$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$\frac{AM}{AC} = \frac{DM}{BC}$

Из условия задачи известны следующие величины: $AC = 10$ см, $MC = 4$ см, $DM = 9$ см. Точка $M$ лежит на стороне $AC$, следовательно, длину отрезка $AM$ можно найти как разность длин $AC$ и $MC$:

$AM = AC - MC = 10 - 4 = 6$ см.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{6}{10} = \frac{9}{BC}$

Теперь решим это уравнение относительно $BC$:

$6 \cdot BC = 10 \cdot 9$

$6 \cdot BC = 90$

$BC = \frac{90}{6}$

$BC = 15$ см.

Ответ: 15 см.