Номер 135, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. Известно, что $\triangle ABC \stackrel{0,75}{\sim} \triangle A_1B_1C_1$, причём $\angle A = \angle A_1$, $\angle C = \angle C_1$. Найдите стороны треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AC + A_1C_1 = 112$ см и $A_1B_1 : B_1C_1 : A_1C_1 = 4 : 5 : 8$. Рис. 63

135. Известно, что $\triangle ABC \sim^{0.75} \triangle A_1B_1C_1$, причём $\angle A = \angle A_1$, $\angle C = \angle C_1$. Найдите стороны треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, если $AC + A_1C_1 = 112$ см и $A_1B_1 : B_1C_1 : A_1C_1 = 4 : 5 : 8$.

Рис. 63

По условию задачи, треугольники $ΔABC$ и $ΔA_1B_1C_1$ подобны, что обозначается как $ΔABC \stackrel{0,75}{\sim} ΔA_1B_1C_1$. Число $0,75$ является коэффициентом подобия $k$. Это означает, что отношение соответственных сторон равно $k$:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k = 0,75$

Из этого соотношения мы можем выразить сторону $AC$ через $A_1C_1$:

$AC = 0,75 \cdot A_1C_1$

Также нам дано, что сумма длин этих сторон равна 112 см: $AC + A_1C_1 = 112$. Подставим в это уравнение выражение для $AC$:

$0,75 \cdot A_1C_1 + A_1C_1 = 112$

$1,75 \cdot A_1C_1 = 112$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $1,75$ в виде обыкновенной: $1,75 = \frac{175}{100} = \frac{7}{4}$.

$\frac{7}{4} \cdot A_1C_1 = 112$

$A_1C_1 = 112 \cdot \frac{4}{7} = (112:7) \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$ см.

Теперь, когда мы нашли длину стороны $A_1C_1$, мы можем найти и длину стороны $AC$:

$AC = 112 - A_1C_1 = 112 - 64 = 48$ см.

Далее, используем данное в условии соотношение сторон треугольника $ΔA_1B_1C_1$:

$A_1B_1 : B_1C_1 : A_1C_1 = 4:5:8$

Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда стороны треугольника $ΔA_1B_1C_1$ можно выразить как:

$A_1B_1 = 4x$

$B_1C_1 = 5x$

$A_1C_1 = 8x$

Поскольку мы уже нашли, что $A_1C_1 = 64$ см, мы можем найти $x$:

$8x = 64$

$x = \frac{64}{8} = 8$

Теперь найдем длины остальных сторон треугольника $ΔA_1B_1C_1$:

$A_1B_1 = 4x = 4 \cdot 8 = 32$ см.

$B_1C_1 = 5x = 5 \cdot 8 = 40$ см.

Наконец, найдем стороны треугольника $ΔABC$, используя коэффициент подобия $k=0,75$ и уже найденные стороны $ΔA_1B_1C_1$:

$AB = k \cdot A_1B_1 = 0,75 \cdot 32 = \frac{3}{4} \cdot 32 = 3 \cdot 8 = 24$ см.

$BC = k \cdot B_1C_1 = 0,75 \cdot 40 = \frac{3}{4} \cdot 40 = 3 \cdot 10 = 30$ см.

Сторону $AC$ мы уже нашли, она равна 48 см.

Ответ: стороны треугольника $ABC$ равны 24 см, 30 см и 48 см; стороны треугольника $A_1B_1C_1$ равны 32 см, 40 см и 64 см.