Номер 132, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. На сторонах AC и BC треугольника ABC отметили точки E и F соответственно. Отрезки AF и BE пересекаются в точке K. В каком отношении точка K делит отрезок BE, если $AE : EC = 1 : 3$ и $BF : FC = 3 : 8$?

132. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили точки $E$ и $F$ соответственно. Отрезки $AF$ и $BE$ пересекаются в точке $K$. В каком отношении точка $K$ делит отрезок $BE$, если $AE : EC = 1 : 3$ и $BF : FC = 3 : 8$?

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Менелая. Эта теорема устанавливает соотношение, в котором произвольная прямая (секущая) пересекает стороны треугольника (или их продолжения).

Рассмотрим треугольник $CBE$ и секущую $AFK$. Эта секущая пересекает сторону $BC$ в точке $F$, сторону $BE$ в точке $K$ и продолжение стороны $CE$ (которое лежит на прямой $AC$) в точке $A$.

Согласно теореме Менелая для треугольника $CBE$ и секущей $AFK$, справедливо следующее равенство:

$$ \frac{CF}{FB} \cdot \frac{BK}{KE} \cdot \frac{EA}{AC} = 1 $$

Теперь найдем значения отношений, входящих в это уравнение, используя данные из условия задачи.

1. По условию дано, что $BF : FC = 3 : 8$. Отсюда следует, что $\frac{BF}{FC} = \frac{3}{8}$. Нам же для формулы требуется обратное отношение: $\frac{CF}{FB} = \frac{8}{3}$.

2. Также по условию $AE : EC = 1 : 3$. Чтобы найти отношение $\frac{EA}{AC}$, примем длину отрезка $AE$ за $x$. Тогда длина отрезка $EC$ будет равна $3x$. Длина всей стороны $AC$ является суммой длин ее частей: $AC = AE + EC = x + 3x = 4x$.

Теперь мы можем вычислить отношение $\frac{EA}{AC}$:

$$ \frac{EA}{AC} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4} $$

Подставим найденные значения отношений в формулу теоремы Менелая:

$$ \frac{8}{3} \cdot \frac{BK}{KE} \cdot \frac{1}{4} = 1 $$

Теперь решим это уравнение относительно искомого отношения $\frac{BK}{KE}$:

$$ \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 4} \cdot \frac{BK}{KE} = 1 $$

$$ \frac{8}{12} \cdot \frac{BK}{KE} = 1 $$

Сократим дробь $\frac{8}{12}$ на 4:

$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{BK}{KE} = 1 $$

Выразим $\frac{BK}{KE}$:

$$ \frac{BK}{KE} = \frac{3}{2} $$

Это означает, что точка $K$ делит отрезок $BE$ в отношении $3:2$, считая от точки $B$.

Ответ: $3:2$.