Номер 128, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Отрезок $AK$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите:

1) отрезки $BK$ и $KC$, если $AB = 8$ см, $AC = 12$ см, $BC = 10$ см;

2) сторону $AB$, если $BK : KC = 3 : 7$, $AC = 28$ см;

3) стороны $AB$ и $AC$, если $AC - AB = 9$ см, $BK : KC = 4 : 7$.

128. Отрезок $AK$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите:

1) отрезки $BK$ и $KC$, если $AB = 8$ см, $AC = 12$ см, $BC = 10$ см;

2) сторону $AB$, если $BK : KC = 3 : 7$, $AC = 28$ см;

3) стороны $AB$ и $AC$, если $AC - AB = 9$ см, $BK : KC = 4 : 7$.

Во всех пунктах задачи используется свойство биссектрисы треугольника. Оно гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Для треугольника $ABC$ и его биссектрисы $AK$ это свойство записывается в виде пропорции:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC}$

1) отрезки BK и KC, если AB = 8 см, AC = 12 см, BC = 10 см;

Согласно свойству биссектрисы, имеем:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC}$

Подставим известные значения длин сторон $AB$ и $AC$:

$\frac{8}{12} = \frac{BK}{KC}$

Сократив дробь в левой части, получим:

$\frac{2}{3} = \frac{BK}{KC}$

Пусть длина отрезка $BK$ равна $x$ см. Поскольку точка $K$ лежит на стороне $BC$, то $BK + KC = BC$. Отсюда длина отрезка $KC$ равна $10 - x$ см.

Подставим эти выражения в пропорцию:

$\frac{2}{3} = \frac{x}{10 - x}$

Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$2 \cdot (10 - x) = 3 \cdot x$

$20 - 2x = 3x$

$20 = 5x$

$x = 4$

Следовательно, длина отрезка $BK = 4$ см.

Теперь найдем длину отрезка $KC$:

$KC = 10 - x = 10 - 4 = 6$ см.

Ответ: $BK = 4$ см, $KC = 6$ см.

2) сторону AB, если BK : KC = 3 : 7, AC = 28 см;

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC}$

Из условия задачи известно, что отношение $\frac{BK}{KC} = \frac{3}{7}$ и длина стороны $AC = 28$ см.

Подставим эти значения в пропорцию:

$\frac{AB}{28} = \frac{3}{7}$

Чтобы найти $AB$, умножим обе части уравнения на 28:

$AB = \frac{3}{7} \cdot 28$

$AB = 3 \cdot 4 = 12$

Таким образом, длина стороны $AB$ равна 12 см.

Ответ: $AB = 12$ см.

3) стороны AB и AC, если AC - AB = 9 см, BK : KC = 4 : 7.

Как и в предыдущих пунктах, применяем свойство биссектрисы:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC}$

По условию $\frac{BK}{KC} = \frac{4}{7}$, значит:

$\frac{AB}{AC} = \frac{4}{7}$

Из этой пропорции выразим $AB$ через $AC$:

$AB = \frac{4}{7} AC$

Также из условия задачи мы знаем, что $AC - AB = 9$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Подставим выражение для $AB$ из первого уравнения во второе:

$AC - \frac{4}{7} AC = 9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$\frac{7AC - 4AC}{7} = 9$

$\frac{3AC}{7} = 9$

Теперь найдем $AC$:

$3AC = 9 \cdot 7$

$3AC = 63$

$AC = \frac{63}{3} = 21$

Мы нашли длину стороны $AC$, она равна 21 см.

Теперь найдем длину стороны $AB$, используя соотношение $AC - AB = 9$:

$21 - AB = 9$

$AB = 21 - 9 = 12$

Таким образом, длины сторон равны $AB = 12$ см и $AC = 21$ см.

Ответ: $AB = 12$ см, $AC = 21$ см.