Номер 131, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. На медиане $AD$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MD = 5 : 3$. В каком отношении прямая $BM$ делит сторону $AC$?

131. На медиане $AD$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MD = 5 : 3$. В каком отношении прямая $BM$ делит сторону $AC$?

Для решения этой задачи можно использовать теорему Менелая или метод с дополнительным построением. Рассмотрим решение с помощью теоремы Менелая как наиболее прямое.

Пусть прямая $BM$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Мы ищем отношение $AK : KC$.

Рассмотрим треугольник $ADC$ и секущую $BKM$. Точки $B$, $M$, $K$ лежат на одной прямой. Эта прямая пересекает две стороны треугольника ($AC$ в точке $K$ и $AD$ в точке $M$) и продолжение третьей стороны ($CD$ в точке $B$).

Согласно теореме Менелая для треугольника $ADC$ и секущей $BKM$, справедливо следующее равенство:

$$ \frac{AK}{KC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DM}{MA} = 1 $$

Теперь найдем значения отношений, входящих в это уравнение, исходя из условий задачи:

1. По условию, точка $M$ делит медиану $AD$ в отношении $AM : MD = 5 : 3$. Из этого следует, что отношение длин отрезков $\frac{AM}{MD} = \frac{5}{3}$. Для формулы нам понадобится обратное отношение: $\frac{DM}{MA} = \frac{3}{5}$.

2. $AD$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$. По определению медианы, точка $D$ — это середина стороны $BC$. Следовательно, $BD = DC$. Длина всей стороны $BC$ равна сумме длин ее частей: $BC = BD + DC = BD + BD = 2BD$. Отсюда находим отношение $\frac{CB}{BD} = \frac{2BD}{BD} = 2$.

Подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$$ \frac{AK}{KC} \cdot 2 \cdot \frac{3}{5} = 1 $$

Упростим полученное выражение:

$$ \frac{AK}{KC} \cdot \frac{6}{5} = 1 $$

Наконец, выразим искомое отношение $\frac{AK}{KC}$:

$$ \frac{AK}{KC} = \frac{5}{6} $$

Таким образом, прямая $BM$ делит сторону $AC$ в отношении $5:6$, считая от вершины $A$.

Ответ: $5:6$.