Номер 137, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Меньшее основание $BC$ трапеции равно $4$ см, $KB = 5$ см, $AB = 7$ см. Найдите большее основание трапеции.

137. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Меньшее основание $BC$ трапеции равно $4$ см, $KB = 5$ см, $AB = 7$ см. Найдите большее основание трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, где BC и AD — основания. По определению трапеции, её основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$.

Продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке K. В результате образуются два треугольника: $\triangle KBC$ и $\triangle KAD$.

Рассмотрим эти два треугольника.

1. Угол при вершине K ($\angle BKC$, он же $\angle AKD$) является общим для обоих треугольников.

2. Так как $BC \parallel AD$, то углы $\angle KBC$ и $\angle KAD$ являются соответственными при параллельных прямых BC и AD и секущей KA. Следовательно, $\angle KBC = \angle KAD$.

По двум равным углам (по первому признаку подобия) треугольник KBC подобен треугольнику KAD ($\triangle KBC \sim \triangle KAD$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно: $$ \frac{KB}{KA} = \frac{KC}{KD} = \frac{BC}{AD} $$

По условию задачи нам даны:
$BC = 4$ см (меньшее основание)
$KB = 5$ см
$AB = 7$ см

Точка B лежит на отрезке KA, поэтому длина стороны KA равна сумме длин отрезков KB и AB: $$ KA = KB + AB = 5 + 7 = 12 \text{ см} $$

Теперь подставим известные значения в пропорцию $\frac{KB}{KA} = \frac{BC}{AD}$, чтобы найти длину большего основания AD: $$ \frac{5}{12} = \frac{4}{AD} $$

Выразим AD из этого уравнения: $$ 5 \cdot AD = 12 \cdot 4 $$ $$ 5 \cdot AD = 48 $$ $$ AD = \frac{48}{5} $$ $$ AD = 9,6 \text{ см} $$

Ответ: 9,6 см.