Номер 133, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Известно, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, причём стороне $AB$ соответствует сторона $A_1B_1$, а стороне $BC$ — сторона $B_1C_1$ (рис. 62). Найдите неизвестные стороны этих треугольников (размеры сторон даны в сантиметрах).

Рис. 62

а) Треугольник $ABC$: $AB = 10$, $BC = 14$, $AC = 12$. Треугольник $A_1B_1C_1$: $B_1C_1 = 7$.

б) Треугольник $ABC$: $AC = 6$, $BC = 15$. Треугольник $A_1B_1C_1$: $A_1C_1 = 9$, $A_1B_1 = 15$.

133. Известно, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, причём стороне $AB$ соответствует сторона $A_1B_1$, а стороне $BC$ — сторона $B_1C_1$ (рис. 62). Найдите неизвестные стороны этих треугольников (размеры сторон даны в сантиметрах).

Рис. 62

a

В первом треугольнике $ABC$: $AB = 10$, $BC = 14$, $AC = 12$.
Во втором треугольнике $A_1B_1C_1$: $B_1C_1 = 7$.

б

В первом треугольнике $ABC$: $BC = 15$, $AC = 6$.
Во втором треугольнике $A_1B_1C_1$: $B_1C_1 = 15$, $A_1C_1 = 9$.

Поскольку треугольники $ΔABC$ и $ΔA_1B_1C_1$ подобны ($ΔABC \sim ΔA_1B_1C_1$), их соответственные стороны пропорциональны. Из условия известно, что стороне $AB$ соответствует сторона $A_1B_1$, а стороне $BC$ — сторона $B_1C_1$. Следовательно, стороне $AC$ соответствует сторона $A_1C_1$. Запишем соотношение сторон:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

где $k$ — коэффициент подобия.

Подставим известные значения из рисунка "а":
$AB = 10$ см, $BC = 14$ см, $AC = 12$ см.
$B_1C_1 = 7$ см.

Запишем пропорцию с известными значениями:

$\frac{10}{A_1B_1} = \frac{14}{7} = \frac{12}{A_1C_1}$

Сначала найдем коэффициент подобия $k$ из отношения известных соответственных сторон $BC$ и $B_1C_1$:

$k = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{14}{7} = 2$

Теперь, зная коэффициент подобия, найдем неизвестные стороны $A_1B_1$ и $A_1C_1$.

Из пропорции $\frac{AB}{A_1B_1} = k$ находим $A_1B_1$:

$\frac{10}{A_1B_1} = 2 \implies A_1B_1 = \frac{10}{2} = 5$ (см).

Из пропорции $\frac{AC}{A_1C_1} = k$ находим $A_1C_1$:

$\frac{12}{A_1C_1} = 2 \implies A_1C_1 = \frac{12}{2} = 6$ (см).

Ответ: $A_1B_1 = 5$ см, $A_1C_1 = 6$ см.

Аналогично для треугольников на рисунке "б", используем условие подобия $ΔABC \sim ΔA_1B_1C_1$ и пропорциональность соответственных сторон:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Подставим известные значения из рисунка "б":
$AB = 15$ см, $AC = 6$ см.
$A_1C_1 = 9$ см, $B_1C_1 = 15$ см.

Запишем пропорцию с известными значениями:

$\frac{15}{A_1B_1} = \frac{BC}{15} = \frac{6}{9}$

Найдем коэффициент подобия $k$ из отношения известных соответственных сторон $AC$ и $A_1C_1$:

$k = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем неизвестные стороны $BC$ и $A_1B_1$.

Из пропорции $\frac{BC}{B_1C_1} = k$ находим $BC$:

$\frac{BC}{15} = \frac{2}{3} \implies BC = 15 \cdot \frac{2}{3} = \frac{30}{3} = 10$ (см).

Из пропорции $\frac{AB}{A_1B_1} = k$ находим $A_1B_1$:

$\frac{15}{A_1B_1} = \frac{2}{3} \implies 2 \cdot A_1B_1 = 15 \cdot 3 \implies 2 \cdot A_1B_1 = 45 \implies A_1B_1 = \frac{45}{2} = 22.5$ (см).

Ответ: $BC = 10$ см, $A_1B_1 = 22.5$ см.