Страница 52 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Известно, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, причём стороне $AB$ соответствует сторона $A_1B_1$, а стороне $BC$ — сторона $B_1C_1$ (рис. 62). Найдите неизвестные стороны этих треугольников (размеры сторон даны в сантиметрах).

Рис. 62

а) Треугольник $ABC$: $AB = 10$, $BC = 14$, $AC = 12$. Треугольник $A_1B_1C_1$: $B_1C_1 = 7$.

б) Треугольник $ABC$: $AC = 6$, $BC = 15$. Треугольник $A_1B_1C_1$: $A_1C_1 = 9$, $A_1B_1 = 15$.

133. Известно, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, причём стороне $AB$ соответствует сторона $A_1B_1$, а стороне $BC$ — сторона $B_1C_1$ (рис. 62). Найдите неизвестные стороны этих треугольников (размеры сторон даны в сантиметрах).

Рис. 62

a

В первом треугольнике $ABC$: $AB = 10$, $BC = 14$, $AC = 12$.
Во втором треугольнике $A_1B_1C_1$: $B_1C_1 = 7$.

б

В первом треугольнике $ABC$: $BC = 15$, $AC = 6$.
Во втором треугольнике $A_1B_1C_1$: $B_1C_1 = 15$, $A_1C_1 = 9$.

Поскольку треугольники $ΔABC$ и $ΔA_1B_1C_1$ подобны ($ΔABC \sim ΔA_1B_1C_1$), их соответственные стороны пропорциональны. Из условия известно, что стороне $AB$ соответствует сторона $A_1B_1$, а стороне $BC$ — сторона $B_1C_1$. Следовательно, стороне $AC$ соответствует сторона $A_1C_1$. Запишем соотношение сторон:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

где $k$ — коэффициент подобия.

Подставим известные значения из рисунка "а":
$AB = 10$ см, $BC = 14$ см, $AC = 12$ см.
$B_1C_1 = 7$ см.

Запишем пропорцию с известными значениями:

$\frac{10}{A_1B_1} = \frac{14}{7} = \frac{12}{A_1C_1}$

Сначала найдем коэффициент подобия $k$ из отношения известных соответственных сторон $BC$ и $B_1C_1$:

$k = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{14}{7} = 2$

Теперь, зная коэффициент подобия, найдем неизвестные стороны $A_1B_1$ и $A_1C_1$.

Из пропорции $\frac{AB}{A_1B_1} = k$ находим $A_1B_1$:

$\frac{10}{A_1B_1} = 2 \implies A_1B_1 = \frac{10}{2} = 5$ (см).

Из пропорции $\frac{AC}{A_1C_1} = k$ находим $A_1C_1$:

$\frac{12}{A_1C_1} = 2 \implies A_1C_1 = \frac{12}{2} = 6$ (см).

Ответ: $A_1B_1 = 5$ см, $A_1C_1 = 6$ см.

Аналогично для треугольников на рисунке "б", используем условие подобия $ΔABC \sim ΔA_1B_1C_1$ и пропорциональность соответственных сторон:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Подставим известные значения из рисунка "б":
$AB = 15$ см, $AC = 6$ см.
$A_1C_1 = 9$ см, $B_1C_1 = 15$ см.

Запишем пропорцию с известными значениями:

$\frac{15}{A_1B_1} = \frac{BC}{15} = \frac{6}{9}$

Найдем коэффициент подобия $k$ из отношения известных соответственных сторон $AC$ и $A_1C_1$:

$k = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем неизвестные стороны $BC$ и $A_1B_1$.

Из пропорции $\frac{BC}{B_1C_1} = k$ находим $BC$:

$\frac{BC}{15} = \frac{2}{3} \implies BC = 15 \cdot \frac{2}{3} = \frac{30}{3} = 10$ (см).

Из пропорции $\frac{AB}{A_1B_1} = k$ находим $A_1B_1$:

$\frac{15}{A_1B_1} = \frac{2}{3} \implies 2 \cdot A_1B_1 = 15 \cdot 3 \implies 2 \cdot A_1B_1 = 45 \implies A_1B_1 = \frac{45}{2} = 22.5$ (см).

Ответ: $BC = 10$ см, $A_1B_1 = 22.5$ см.

134. Стороны треугольника относятся как $5 : 11 : 14$. Най-дите стороны подобного ему треугольника, если:

1) его периметр равен 120 см;

2) его средняя по длине сторона равна 55 см;

3) сумма его наибольшей и средней по длине сторон равна 50 см.

134. Стороны треугольника относятся как $5 : 11 : 14$. Найдите стороны подобного ему треугольника, если:

1) его периметр равен 120 см;

2) его средняя по длине сторона равна 55 см;

3) сумма его наибольшей и средней по длине сторон равна 50 см.

Поскольку искомый треугольник подобен треугольнику со сторонами, относящимися как $5:11:14$, его стороны также будут относиться как $5:11:14$. Обозначим коэффициент пропорциональности через $k$. Тогда стороны искомого треугольника можно записать как $5k$, $11k$ и $14k$.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Согласно условию, периметр равен 120 см. Составим и решим уравнение:
$5k + 11k + 14k = 120$
$30k = 120$
$k = \frac{120}{30}$
$k = 4$
Теперь найдем длины сторон треугольника:
Первая сторона: $5k = 5 \cdot 4 = 20$ см.
Вторая сторона: $11k = 11 \cdot 4 = 44$ см.
Третья сторона: $14k = 14 \cdot 4 = 56$ см.
Ответ: 20 см, 44 см, 56 см.

В отношении $5:11:14$ средним по величине является число 11. Следовательно, средняя по длине сторона треугольника равна $11k$. По условию, ее длина составляет 55 см. Составим и решим уравнение:
$11k = 55$
$k = \frac{55}{11}$
$k = 5$
Теперь найдем длины остальных сторон:
Наименьшая сторона: $5k = 5 \cdot 5 = 25$ см.
Наибольшая сторона: $14k = 14 \cdot 5 = 70$ см.
Таким образом, стороны треугольника равны 25 см, 55 см и 70 см.
Ответ: 25 см, 55 см, 70 см.

В отношении $5:11:14$ наибольшая часть равна 14, а средняя — 11. Соответственно, наибольшая сторона треугольника равна $14k$, а средняя — $11k$. По условию, их сумма равна 50 см. Составим и решим уравнение:
$14k + 11k = 50$
$25k = 50$
$k = \frac{50}{25}$
$k = 2$
Теперь найдем длины всех трех сторон:
Наименьшая сторона: $5k = 5 \cdot 2 = 10$ см.
Средняя сторона: $11k = 11 \cdot 2 = 22$ см.
Наибольшая сторона: $14k = 14 \cdot 2 = 28$ см.
Ответ: 10 см, 22 см, 28 см.

135. Известно, что $\triangle ABC \stackrel{0,75}{\sim} \triangle A_1B_1C_1$, причём $\angle A = \angle A_1$, $\angle C = \angle C_1$. Найдите стороны треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AC + A_1C_1 = 112$ см и $A_1B_1 : B_1C_1 : A_1C_1 = 4 : 5 : 8$. Рис. 63

135. Известно, что $\triangle ABC \sim^{0.75} \triangle A_1B_1C_1$, причём $\angle A = \angle A_1$, $\angle C = \angle C_1$. Найдите стороны треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, если $AC + A_1C_1 = 112$ см и $A_1B_1 : B_1C_1 : A_1C_1 = 4 : 5 : 8$.

Рис. 63

По условию задачи, треугольники $ΔABC$ и $ΔA_1B_1C_1$ подобны, что обозначается как $ΔABC \stackrel{0,75}{\sim} ΔA_1B_1C_1$. Число $0,75$ является коэффициентом подобия $k$. Это означает, что отношение соответственных сторон равно $k$:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k = 0,75$

Из этого соотношения мы можем выразить сторону $AC$ через $A_1C_1$:

$AC = 0,75 \cdot A_1C_1$

Также нам дано, что сумма длин этих сторон равна 112 см: $AC + A_1C_1 = 112$. Подставим в это уравнение выражение для $AC$:

$0,75 \cdot A_1C_1 + A_1C_1 = 112$

$1,75 \cdot A_1C_1 = 112$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $1,75$ в виде обыкновенной: $1,75 = \frac{175}{100} = \frac{7}{4}$.

$\frac{7}{4} \cdot A_1C_1 = 112$

$A_1C_1 = 112 \cdot \frac{4}{7} = (112:7) \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$ см.

Теперь, когда мы нашли длину стороны $A_1C_1$, мы можем найти и длину стороны $AC$:

$AC = 112 - A_1C_1 = 112 - 64 = 48$ см.

Далее, используем данное в условии соотношение сторон треугольника $ΔA_1B_1C_1$:

$A_1B_1 : B_1C_1 : A_1C_1 = 4:5:8$

Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда стороны треугольника $ΔA_1B_1C_1$ можно выразить как:

$A_1B_1 = 4x$

$B_1C_1 = 5x$

$A_1C_1 = 8x$

Поскольку мы уже нашли, что $A_1C_1 = 64$ см, мы можем найти $x$:

$8x = 64$

$x = \frac{64}{8} = 8$

Теперь найдем длины остальных сторон треугольника $ΔA_1B_1C_1$:

$A_1B_1 = 4x = 4 \cdot 8 = 32$ см.

$B_1C_1 = 5x = 5 \cdot 8 = 40$ см.

Наконец, найдем стороны треугольника $ΔABC$, используя коэффициент подобия $k=0,75$ и уже найденные стороны $ΔA_1B_1C_1$:

$AB = k \cdot A_1B_1 = 0,75 \cdot 32 = \frac{3}{4} \cdot 32 = 3 \cdot 8 = 24$ см.

$BC = k \cdot B_1C_1 = 0,75 \cdot 40 = \frac{3}{4} \cdot 40 = 3 \cdot 10 = 30$ см.

Сторону $AC$ мы уже нашли, она равна 48 см.

Ответ: стороны треугольника $ABC$ равны 24 см, 30 см и 48 см; стороны треугольника $A_1B_1C_1$ равны 32 см, 40 см и 64 см.

136. Найдите подобные треугольники на рисунке 63, если известно, что $CD \parallel AK$. Запишите пропорции, начинающиеся с отношения:

1) $\frac{BC}{BA}$;

2) $\frac{AK}{CD}$.

Рис. 63

136. Найдите подобные треугольники на рисунке 63, если известно, что $CD \parallel AK$. Запишите пропорции, начинающиеся с отношения:

1) $\frac{BC}{BA}$;

2) $\frac{AK}{CD}$.

Рис. 63

Рассмотрим треугольники $ΔBCD$ и $ΔBAK$. По условию задачи прямая $CD$ параллельна прямой $AK$ ($CD \parallel AK$).

Докажем, что эти треугольники подобны, используя первый признак подобия (по двум равным углам):

• Угол $B$ (или $\angle B$) является общим для обоих треугольников.
• Углы $\angle BCD$ и $\angle BAK$ являются соответственными при параллельных прямых $CD$ и $AK$ и секущей $AB$. Следовательно, эти углы равны: $\angle BCD = \angle BAK$.

Поскольку два угла одного треугольника ($ΔBCD$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($ΔBAK$), то эти треугольники подобны: $ΔBCD \sim ΔBAK$.

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$\frac{BC}{BA} = \frac{BD}{BK} = \frac{CD}{AK}$

Используя это свойство, запишем требуемые пропорции.

1)

Пропорция, начинающаяся с отношения $\frac{BC}{BA}$, прямо следует из установленной пропорциональности сторон подобных треугольников.

Ответ: $\frac{BC}{BA} = \frac{BD}{BK} = \frac{CD}{AK}$

2)

Чтобы записать пропорцию, начинающуюся с отношения $\frac{AK}{CD}$, необходимо взять обратные отношения для каждой из частей в исходной пропорции.

Ответ: $\frac{AK}{CD} = \frac{BA}{BC} = \frac{BK}{BD}$