Страница 57 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 2 см. Найдите радиус вписанной окружности и основания трапеции.

169. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 2 см. Найдите радиус вписанной окружности и основания трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. $AD$ и $BC$ — основания, $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Пусть точка $K$ — точка касания окружности с боковой стороной $AB$.

По условию, точка касания делит боковую сторону на отрезки 8 см и 2 см. Пусть $AK = 8$ см и $KB = 2$ см. Тогда длина боковой стороны $c$ равна: $c = AB = AK + KB = 8 + 2 = 10$ см.

Основания трапеции

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Пусть окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $L$ и $N$ соответственно.Из вершины $A$ проведены касательные $AK$ и $AN$, следовательно, $AN = AK = 8$ см.Из вершины $B$ проведены касательные $BK$ и $BL$, следовательно, $BL = BK = 2$ см.

Так как трапеция равнобокая, она симметрична относительно оси, проходящей через середины оснований. Поэтому отрезки, на которые делит точка касания $M$ сторону $CD$, равны соответствующим отрезкам на стороне $AB$. То есть $DM = 8$ см и $CM = 2$ см.

Верхнее основание $BC$ состоит из двух отрезков касательных из вершин $B$ и $C$: $BC = BL + LC$. Так как $LC = CM = 2$ см, то $BC = 2 + 2 = 4$ см.

Нижнее основание $AD$ состоит из двух отрезков касательных из вершин $A$ и $D$: $AD = AN + ND$. Так как $ND = DM = 8$ см, то $AD = 8 + 8 = 16$ см.

Ответ: основания трапеции равны 4 см и 16 см.

Радиус вписанной окружности

Высота трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности: $h = 2r$. Найдем высоту трапеции. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$.

В равнобокой трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой на большем основании, вычисляется по формуле: $AH = \frac{AD - BC}{2}$.

Подставим найденные значения оснований: $AH = \frac{16 - 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (где $\angle H = 90^\circ$). Катет $AH = 6$ см, гипотенуза $AB = 10$ см. По теореме Пифагора найдем катет $BH$, который является высотой трапеции:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$h^2 = BH^2 = AB^2 - AH^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Так как высота равна диаметру вписанной окружности ($h = 2r$), то радиус $r$ равен половине высоты:

$r = \frac{h}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 4 см.

170. Дан отрезок длиной 1 см. Постройте отрезок длиной $\sqrt{5}$ см.

170. Дан отрезок длиной 1 см. Постройте отрезок длиной $\sqrt{5}$ см.

Для построения отрезка длиной $\sqrt{5}$ см, имея в распоряжении отрезок длиной 1 см, циркуль и линейку, воспользуемся теоремой Пифагора. Согласно этой теореме, в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$ выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$.

Мы хотим построить отрезок, длина которого $c = \sqrt{5}$ см. Следовательно, квадрат его длины должен быть равен $c^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$. Нам нужно найти такие длины катетов $a$ и $b$, которые можно построить на основе единичного отрезка, и для которых $a^2 + b^2 = 5$. Легко подобрать целочисленные значения: если взять $a = 1$ см и $b = 2$ см, то $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника с катетами 1 см и 2 см. Гипотенуза этого треугольника и будет искомым отрезком.

Построение выполняется следующим образом. Сначала начертим произвольную прямую и отметим на ней точку A. Затем с помощью циркуля, установив его раствор равным данному отрезку в 1 см, отложим на прямой от точки A отрезок AB длиной 2 см (для этого нужно отложить единичный отрезок два раза подряд в одном направлении). Далее в точке A построим прямую, перпендикулярную исходной, используя циркуль и линейку (это стандартное геометрическое построение). На этой перпендикулярной прямой отложим от точки A отрезок AC длиной 1 см. Наконец, соединим точки B и C.

В результате будет построен прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. Его катеты равны $AC = 1$ см и $AB = 2$ см. Длина гипотенузы BC, согласно теореме Пифагора, вычисляется как:

$BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ см.

Следовательно, отрезок BC является искомым отрезком длиной $\sqrt{5}$ см.

Ответ: Искомый отрезок длиной $\sqrt{5}$ см строится как гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого равны 1 см и 2 см. Построение осуществляется с помощью циркуля и линейки, используя данный отрезок длиной 1 см для откладывания длин катетов.

171. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 см и 12 см.

171. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 см и 12 см.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы ($c$) равен сумме квадратов длин катетов ($a$ и $b$).

Формула теоремы Пифагора выглядит следующим образом:
$c^2 = a^2 + b^2$

Согласно условию задачи, нам даны длины катетов:
$a = 5$ см
$b = 12$ см

Подставим известные значения в формулу:
$c^2 = 5^2 + 12^2$

Теперь выполним вычисления:
$c^2 = 25 + 144$
$c^2 = 169$

Чтобы найти длину гипотенузы $c$, извлечем квадратный корень из 169:
$c = \sqrt{169}$
$c = 13$ см

Ответ: 13 см.

172. Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и второй катет соответственно равны 9 см и 5 см.

172. Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и второй катет соответственно равны 9 см и 5 см.

Для решения этой задачи используется теорема Пифагора. Согласно этой теореме, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула теоремы Пифагора выглядит следующим образом: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — это катеты, а $c$ — гипотенуза.

В условии задачи даны:

• гипотенуза $c = 9$ см;
• один из катетов (пусть будет $a$) $a = 5$ см.

Нам необходимо найти длину второго катета $b$. Для этого выразим $b^2$ из формулы Пифагора:

$b^2 = c^2 - a^2$

Теперь подставим известные значения в эту формулу:

$b^2 = 9^2 - 5^2$

Выполним вычисления:

$b^2 = 81 - 25$

$b^2 = 56$

Чтобы найти длину катета $b$, извлечем квадратный корень из 56:

$b = \sqrt{56}$

Для упрощения выражения можно разложить число 56 на множители и вынести множитель из-под знака корня:

$b = \sqrt{4 \cdot 14} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{14} = 2\sqrt{14}$

Таким образом, длина искомого катета равна $2\sqrt{14}$ см.

Ответ: $2\sqrt{14}$ см.

173. Сторона квадрата равна $4\sqrt{2}$ см. Найдите его диагональ.

173. Сторона квадрата равна $4\sqrt{2}$ см. Найдите его диагональ.

173.

Для нахождения диагонали квадрата можно использовать теорему Пифагора или готовую формулу, которая из нее следует.

Пусть сторона квадрата равна $a$, а его диагональ — $d$. По условию задачи, $a = 4\sqrt{2}$ см.

Диагональ делит квадрат на два одинаковых прямоугольных треугольника. Стороны квадрата $a$ являются катетами этих треугольников, а диагональ $d$ — их общей гипотенузой.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Отсюда следует формула для нахождения диагонали квадрата через его сторону:

$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь подставим в эту формулу данное значение стороны $a = 4\sqrt{2}$ см:

$d = (4\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$

Выполним вычисления:

$d = 4 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

174. Одна из сторон прямоугольника равна 16 см. Найдите вторую сторону прямоугольника и его диагональ, если их длины относятся как $3 : 5$.

174. Одна из сторон прямоугольника равна 16 см. Найдите вторую сторону прямоугольника и его диагональ, если их длины относятся как $3 : 5$.

Пусть одна из сторон прямоугольника $a = 16$ см. Обозначим вторую (искомую) сторону как $b$, а диагональ как $d$.

Согласно условию, отношение длины второй стороны к длине диагонали составляет $3 : 5$:
$b : d = 3 : 5$

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины второй стороны и диагонали можно выразить как:
$b = 3x$
$d = 5x$

Две стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник, в котором диагональ является гипотенузой. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов (сторон) равна квадрату гипотенузы (диагонали):
$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим в это уравнение известные значения и выражения для $b$ и $d$:
$16^2 + (3x)^2 = (5x)^2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$256 + 9x^2 = 25x^2$
$25x^2 - 9x^2 = 256$
$16x^2 = 256$
$x^2 = \frac{256}{16}$
$x^2 = 16$

Так как длина отрезка является положительной величиной, извлекаем положительный квадратный корень:
$x = \sqrt{16} = 4$

Зная коэффициент пропорциональности, находим искомые величины.

вторая сторона прямоугольника
$b = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.

диагональ
$d = 5x = 5 \cdot 4 = 20$ см.

Ответ: вторая сторона прямоугольника равна 12 см, а его диагональ — 20 см.

175. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 12 см, а высота, проведённая к основанию, — 7 см. Найдите основание треугольника.

175. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 12 см, а высота, проведённая к основанию, – 7 см. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 12 см, а высота, проведенная к основанию, — 7 см. Обозначим треугольник как $ABC$, где $AB = BC = 12$ см — боковые стороны, а $AC$ — основание. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. Таким образом, $BH = 7$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что она делит основание на два равных отрезка: $AH = HC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (так как $BH$ — высота, угол $BHA$ — прямой). В этом треугольнике:

• $AB$ — гипотенуза, равная 12 см.
• $BH$ — катет, равный 7 см.
• $AH$ — второй катет.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:$AB^2 = AH^2 + BH^2$

Подставим известные значения в формулу:$12^2 = AH^2 + 7^2$$144 = AH^2 + 49$

Теперь найдем $AH^2$:$AH^2 = 144 - 49$$AH^2 = 95$

Следовательно, длина отрезка $AH$ равна:$AH = \sqrt{95}$ см.

Так как высота $BH$ является медианой, то основание $AC$ в два раза больше отрезка $AH$:$AC = 2 \cdot AH = 2\sqrt{95}$ см.

Ответ: $2\sqrt{95}$ см.

176. Диагонали ромба равны 14 см и 48 см. Найдите сторону ромба.

176. Диагонали ромба равны 14 см и 48 см. Найдите сторону ромба.

По свойствам ромба, его диагонали в точке пересечения делятся пополам и являются взаимно перпендикулярными. Это означает, что диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников катеты являются половинами диагоналей, а гипотенуза — стороной ромба.

Пусть диагонали ромба равны $d_1 = 14$ см и $d_2 = 48$ см. Найдем длины катетов образовавшихся прямоугольных треугольников:
Первый катет: $\frac{d_1}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.
Второй катет: $\frac{d_2}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Для нахождения стороны ромба $a$, которая является гипотенузой, применим теорему Пифагора ($a^2 = b^2 + c^2$, где $b$ и $c$ — катеты):
$a^2 = 7^2 + 24^2$
$a^2 = 49 + 576$
$a^2 = 625$
$a = \sqrt{625}$
$a = 25$ см.

Ответ: 25 см.

177. Две стороны прямоугольного треугольника равны 4 см и 7 см. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

177. Две стороны прямоугольного треугольника равны 4 см и 7 см. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

Поскольку в условии не уточнено, являются ли данные стороны катетами или одна из них гипотенуза, задача имеет несколько решений. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой длинной стороной. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: Данные стороны (4 см и 7 см) являются катетами.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a = 4$ см и $b = 7$ см. Третья сторона будет гипотенузой $c$. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$.

Подставим значения:

$c^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65$

Отсюда находим гипотенузу:

$c = \sqrt{65}$ см.

Так как $\sqrt{65} \approx 8.06$, что больше 7 и 4, это решение является верным.

Ответ: $\sqrt{65}$ см.

Случай 2: Одна из данных сторон является гипотенузой.

Гипотенуза должна быть самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике. Сравнивая данные стороны, 7 см > 4 см, следовательно, гипотенузой может быть только сторона длиной 7 см. Тогда сторона длиной 4 см является одним из катетов.

Пусть гипотенуза $c = 7$ см, а один из катетов $a = 4$ см. Найдем второй катет $b$.

Из теоремы Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ выразим $b^2$:

$b^2 = c^2 - a^2$

Подставим значения:

$b^2 = 7^2 - 4^2 = 49 - 16 = 33$

Отсюда находим второй катет:

$b = \sqrt{33}$ см.

Это решение также является верным, так как катет $\sqrt{33} \approx 5.74$ см меньше гипотенузы 7 см.

Ответ: $\sqrt{33}$ см.

Сколько решений имеет задача?

Мы рассмотрели два возможных случая, и оба привели к допустимым решениям. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

178. Найдите длину неизвестного отрезка x на рисунке 72 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 72

а

На рисунке а) изображен треугольник ABC с прямым углом C. На стороне CB находится точка D. Известны длины отрезков: AC = 10, CD = 9, DB = 9. Длина отрезка AD обозначена как $x$.

б

На рисунке б) изображена фигура ABCD. Угол D в треугольнике ADC прямой, и угол C в треугольнике ACB прямой. Известны длины отрезков: AD = $\sqrt{21}$, CB = 6, AB = 8. Длина отрезка CD обозначена как $x$.

178. Найдите длину неизвестного отрезка $x$ на рисунке 72 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 72

a

В этом рисунке изображен треугольник ABC с точкой D на стороне CB.

Треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Известные длины отрезков:

• $AC = 10$
• $CD = 9$
• $DB = 9$
• Неизвестный отрезок $AD = x$

б

В этом рисунке изображен треугольник $ABC$ и точка $D$ на стороне $AB$.

Треугольник $ACB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Треугольник $ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

Известные длины отрезков:

• $CD = \sqrt{21}$
• $CB = 6$
• $AB = 8$
• Неизвестный отрезок $AD = x$

а
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ с прямым углом при вершине $C$. В этом треугольнике известны длины двух катетов: $AC = 10$ см и $CD = 9$ см. Неизвестный отрезок $x$ (длина $AD$) является гипотенузой этого треугольника.
Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
$AD^2 = AC^2 + CD^2$
Подставим известные значения:
$x^2 = 10^2 + 9^2$
$x^2 = 100 + 81$
$x^2 = 181$
$x = \sqrt{181}$
Так как 181 является простым числом, корень не упрощается.
Ответ: $\sqrt{181}$ см.

б
Для нахождения $x$ необходимо выполнить два действия, дважды применив теорему Пифагора.
1. Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $ACB$ с прямым углом при вершине $C$. В нём известны гипотенуза $AB = 8$ см и катет $CB = 6$ см. Найдём длину катета $AC$.
По теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + CB^2$.
Выразим $AC^2$:
$AC^2 = AB^2 - CB^2$
$AC^2 = 8^2 - 6^2$
$AC^2 = 64 - 36$
$AC^2 = 28$
2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ с прямым углом при вершине $D$. В нём $AC$ является гипотенузой, а $AD$ (равный $x$) и $DC = \sqrt{21}$ см — катетами.
По теореме Пифагора: $AC^2 = AD^2 + DC^2$.
Из предыдущего шага мы знаем, что $AC^2 = 28$. Подставим известные значения:
$28 = x^2 + (\sqrt{21})^2$
$28 = x^2 + 21$
$x^2 = 28 - 21$
$x^2 = 7$
$x = \sqrt{7}$
Ответ: $\sqrt{7}$ см.