Номер 178, страница 57 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

178. Найдите длину неизвестного отрезка x на рисунке 72 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 72

а

На рисунке а) изображен треугольник ABC с прямым углом C. На стороне CB находится точка D. Известны длины отрезков: AC = 10, CD = 9, DB = 9. Длина отрезка AD обозначена как $x$.

б

На рисунке б) изображена фигура ABCD. Угол D в треугольнике ADC прямой, и угол C в треугольнике ACB прямой. Известны длины отрезков: AD = $\sqrt{21}$, CB = 6, AB = 8. Длина отрезка CD обозначена как $x$.

178. Найдите длину неизвестного отрезка $x$ на рисунке 72 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 72

a

В этом рисунке изображен треугольник ABC с точкой D на стороне CB.

Треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Известные длины отрезков:

• $AC = 10$
• $CD = 9$
• $DB = 9$
• Неизвестный отрезок $AD = x$

б

В этом рисунке изображен треугольник $ABC$ и точка $D$ на стороне $AB$.

Треугольник $ACB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Треугольник $ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

Известные длины отрезков:

• $CD = \sqrt{21}$
• $CB = 6$
• $AB = 8$
• Неизвестный отрезок $AD = x$

а
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ с прямым углом при вершине $C$. В этом треугольнике известны длины двух катетов: $AC = 10$ см и $CD = 9$ см. Неизвестный отрезок $x$ (длина $AD$) является гипотенузой этого треугольника.
Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
$AD^2 = AC^2 + CD^2$
Подставим известные значения:
$x^2 = 10^2 + 9^2$
$x^2 = 100 + 81$
$x^2 = 181$
$x = \sqrt{181}$
Так как 181 является простым числом, корень не упрощается.
Ответ: $\sqrt{181}$ см.

б
Для нахождения $x$ необходимо выполнить два действия, дважды применив теорему Пифагора.
1. Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $ACB$ с прямым углом при вершине $C$. В нём известны гипотенуза $AB = 8$ см и катет $CB = 6$ см. Найдём длину катета $AC$.
По теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + CB^2$.
Выразим $AC^2$:
$AC^2 = AB^2 - CB^2$
$AC^2 = 8^2 - 6^2$
$AC^2 = 64 - 36$
$AC^2 = 28$
2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ с прямым углом при вершине $D$. В нём $AC$ является гипотенузой, а $AD$ (равный $x$) и $DC = \sqrt{21}$ см — катетами.
По теореме Пифагора: $AC^2 = AD^2 + DC^2$.
Из предыдущего шага мы знаем, что $AC^2 = 28$. Подставим известные значения:
$28 = x^2 + (\sqrt{21})^2$
$28 = x^2 + 21$
$x^2 = 28 - 21$
$x^2 = 7$
$x = \sqrt{7}$
Ответ: $\sqrt{7}$ см.