Номер 177, страница 57 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

177. Две стороны прямоугольного треугольника равны 4 см и 7 см. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

177. Две стороны прямоугольного треугольника равны 4 см и 7 см. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

Поскольку в условии не уточнено, являются ли данные стороны катетами или одна из них гипотенуза, задача имеет несколько решений. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой длинной стороной. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: Данные стороны (4 см и 7 см) являются катетами.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a = 4$ см и $b = 7$ см. Третья сторона будет гипотенузой $c$. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$.

Подставим значения:

$c^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65$

Отсюда находим гипотенузу:

$c = \sqrt{65}$ см.

Так как $\sqrt{65} \approx 8.06$, что больше 7 и 4, это решение является верным.

Ответ: $\sqrt{65}$ см.

Случай 2: Одна из данных сторон является гипотенузой.

Гипотенуза должна быть самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике. Сравнивая данные стороны, 7 см > 4 см, следовательно, гипотенузой может быть только сторона длиной 7 см. Тогда сторона длиной 4 см является одним из катетов.

Пусть гипотенуза $c = 7$ см, а один из катетов $a = 4$ см. Найдем второй катет $b$.

Из теоремы Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ выразим $b^2$:

$b^2 = c^2 - a^2$

Подставим значения:

$b^2 = 7^2 - 4^2 = 49 - 16 = 33$

Отсюда находим второй катет:

$b = \sqrt{33}$ см.

Это решение также является верным, так как катет $\sqrt{33} \approx 5.74$ см меньше гипотенузы 7 см.

Ответ: $\sqrt{33}$ см.

Сколько решений имеет задача?

Мы рассмотрели два возможных случая, и оба привели к допустимым решениям. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.