Номер 182, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Основание равнобедренного треугольника относится к проведённой к нему высоте как 8 : 3. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 72 см.

182. Основание равнобедренного треугольника относится к проведенной к нему высоте как $8 : 3$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 72 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник, обозначим его основание как $a$, боковые стороны как $b$, а высоту, проведенную к основанию, как $h$.

Согласно условию, отношение основания к высоте составляет 8 к 3:

$\frac{a}{h} = \frac{8}{3}$

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда можно записать, что $a = 8x$ и $h = 3x$.

Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников:

• гипотенуза — это боковая сторона треугольника $b$;
• один катет — это высота $h = 3x$;
• второй катет — это половина основания $\frac{a}{2} = \frac{8x}{2} = 4x$.

Применим теорему Пифагора для нахождения боковой стороны $b$:

$b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим выражения через $x$:

$b^2 = (3x)^2 + (4x)^2 = 9x^2 + 16x^2 = 25x^2$

Отсюда $b = \sqrt{25x^2} = 5x$ (поскольку длина стороны является положительной величиной).

Теперь мы имеем выражения для всех сторон треугольника через $x$: основание $a = 8x$ и боковые стороны $b = 5x$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон. По условию, периметр равен 72 см. Составим уравнение:

$P = a + b + b = 8x + 5x + 5x = 72$

$18x = 72$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{72}{18} = 4$

Зная значение $x$, найдем длины сторон треугольника:

Основание: $a = 8x = 8 \cdot 4 = 32$ см.

Боковые стороны: $b = 5x = 5 \cdot 4 = 20$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны 32 см, 20 см и 20 см.

Ответ: стороны треугольника равны 20 см, 20 см и 32 см.