Номер 188, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

188. В равнобокую трапецию вписана окружность, радиус которой равен 8 см. Найдите основания трапеции, если их разность равна 24 см.

188. В равнобокую трапецию вписана окружность, радиус которой равен 8 см. Найдите основания трапеции, если их разность равна 24 см.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим её основания как $a$ и $b$ (где $a$ — большее основание, а $b$ — меньшее), а боковую сторону — как $c$.

1. Свойство описанного четырёхугольника. Если в четырёхугольник (в данном случае, в трапецию) можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a + b = c + c = 2c$.

2. Высота трапеции. Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. По условию, радиус окружности $r = 8$ см, значит, высота $h$ равна: $h = 2r = 2 \cdot 8 = 16$ см.

3. Связь между сторонами. Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему. Эта высота отсекает от большего основания отрезок, длина которого в равнобокой трапеции равна полуразности оснований: $\frac{a-b}{2}$. По условию, разность оснований $a - b = 24$ см. Следовательно, длина этого отрезка равна $\frac{24}{2} = 12$ см.

4. Нахождение боковой стороны. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$ (гипотенуза), высотой $h$ и отрезком $\frac{a-b}{2}$ (катеты). По теореме Пифагора: $c^2 = h^2 + (\frac{a-b}{2})^2$ $c^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$ $c = \sqrt{400} = 20$ см.

5. Нахождение оснований. Теперь, зная длину боковой стороны, мы можем найти сумму оснований: $a + b = 2c = 2 \cdot 20 = 40$ см.

У нас есть система из двух уравнений: $ \begin{cases} a + b = 40 \\ a - b = 24 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения: $(a + b) + (a - b) = 40 + 24$ $2a = 64$ $a = 32$ см.

Теперь найдём второе основание, подставив значение $a$ в первое уравнение: $32 + b = 40$ $b = 40 - 32 = 8$ см.

Ответ: основания трапеции равны 32 см и 8 см.