Номер 195, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

195. Найдите значение выражения:

1) $ \cot^2 60^\circ + \sin 30^\circ $

2) $ 4\cos^2 45^\circ + \tan^2 30^\circ $

195. Найдите значение выражения:

1) $ctg^2 60^\circ + \sin 30^\circ$;

2) $4\cos^2 45^\circ + tg^2 30^\circ$.

Для нахождения значения выражения $ctg^2{60^{\circ}} + sin{30^{\circ}}$ воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.

Значение котангенса 60 градусов: $ctg(60^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Значение синуса 30 градусов: $sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$.

Подставляем эти значения в исходное выражение:

$ctg^2{60^{\circ}} + sin{30^{\circ}} = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + \frac{1}{2}$

Сначала вычисляем квадрат первого слагаемого:

$(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1^2}{(\sqrt{3})^2} = \frac{1}{3}$

Теперь выполняем сложение, приводя дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

Для нахождения значения выражения $4cos^2{45^{\circ}} + tg^2{30^{\circ}}$ воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.

Значение косинуса 45 градусов: $cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Значение тангенса 30 градусов: $tg(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставляем эти значения в исходное выражение:

$4cos^2{45^{\circ}} + tg^2{30^{\circ}} = 4 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2$

Вычисляем квадраты тригонометрических значений:

$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1^2}{(\sqrt{3})^2} = \frac{1}{3}$

Подставляем полученные результаты обратно в выражение и вычисляем:

$4 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3}$

Приводим к общему знаменателю:

$2 + \frac{1}{3} = \frac{2}{1} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Результат также можно записать в виде смешанной дроби $2\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$