Номер 197, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Найдите $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ и $\text{tg}\alpha$, если $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{3}$.

197. Найдите $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ и $\text{tg}\alpha$, если $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{3}$.

По условию задачи дано значение котангенса: $ctg\alpha = \frac{1}{3}$.

Поскольку $ctg\alpha$ имеет положительное значение, угол $\alpha$ может находиться либо в первой, либо в третьей координатной четверти. Это означает, что $sin\alpha$ и $cos\alpha$ будут либо оба положительными (I четверть), либо оба отрицательными (III четверть). Мы рассмотрим оба возможных случая.

tgα

Тангенс и котангенс являются взаимно обратными величинами. Для нахождения $tg\alpha$ воспользуемся формулой:

$tg\alpha = \frac{1}{ctg\alpha}$

Подставим известное значение $ctg\alpha$:

$tg\alpha = \frac{1}{1/3} = 3$

Ответ: $tg\alpha = 3$.

sinα

Для нахождения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс:

$1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$

Подставим значение $ctg\alpha = \frac{1}{3}$ в формулу:

$1 + (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{sin^2\alpha}$

$1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{sin^2\alpha}$

$\frac{10}{9} = \frac{1}{sin^2\alpha}$

Отсюда выражаем $sin^2\alpha$:

$sin^2\alpha = \frac{9}{10}$

Теперь извлечем квадратный корень. Как мы определили ранее, $sin\alpha$ может быть как положительным (для I четверти), так и отрицательным (для III четверти).

$sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{10}} = \pm\frac{3}{\sqrt{10}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:

$sin\alpha = \pm\frac{3\sqrt{10}}{10}$

Ответ: $sin\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$ или $sin\alpha = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

cosα

Для нахождения косинуса воспользуемся определением котангенса: $ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$. Выразим отсюда $cos\alpha$:

$cos\alpha = ctg\alpha \cdot sin\alpha$

Подставим известные значения $ctg\alpha$ и найденные значения $sin\alpha$:

$cos\alpha = \frac{1}{3} \cdot (\pm\frac{3\sqrt{10}}{10}) = \pm\frac{\sqrt{10}}{10}$

Знак косинуса должен соответствовать знаку синуса в зависимости от четверти:

1. Если угол $\alpha$ находится в I четверти, то $sin\alpha > 0$ и $cos\alpha > 0$.
В этом случае: $sin\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$ и $cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

2. Если угол $\alpha$ находится в III четверти, то $sin\alpha < 0$ и $cos\alpha < 0$.
В этом случае: $sin\alpha = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$ и $cos\alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$ или $cos\alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.