Номер 199, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. В равнобокой трапеции ABCD известно, что $AB = CD = 2$ см, $BC = 6\sqrt{2}$ см, $AD = 8\sqrt{2}$ см. Найдите углы трапеции.

199. В равнобокой трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD = 2$ см, $BC = 6\sqrt{2}$ см, $AD = 8\sqrt{2}$ см. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Известны длины сторон: боковые стороны $AB = CD = 2$ см, меньшее основание $BC = 6\sqrt{2}$ см, большее основание $AD = 8\sqrt{2}$ см.

Для нахождения углов трапеции опустим из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$.

Так как трапеция является равнобокой, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, отрезки $AH$ и $KD$ равны.

Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поскольку $BC \parallel HK$ и $BH \parallel CK$ (как перпендикуляры к одной прямой $AD$). Отсюда следует, что $HK = BC = 6\sqrt{2}$ см.

Длина большего основания $AD$ равна сумме длин отрезков, на которые его разбивают высоты:

$AD = AH + HK + KD$

Так как $AH = KD$, мы можем записать:

$AD = 2 \cdot AH + HK$

Подставим известные значения в это уравнение и найдем $AH$:

$8\sqrt{2} = 2 \cdot AH + 6\sqrt{2}$

$2 \cdot AH = 8\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$

$2 \cdot AH = 2\sqrt{2}$

$AH = \sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем известна гипотенуза $AB = 2$ см и катет $AH = \sqrt{2}$ см. Мы можем найти угол $\angle A$ (он же $\angle BAH$) с помощью косинуса:

$\cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это значение косинуса соответствует углу $45^{\circ}$. Таким образом, $\angle A = 45^{\circ}$.

В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Следовательно:

$\angle D = \angle A = 45^{\circ}$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^{\circ}$. Найдем угол $\angle B$:

$\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$

Соответственно, $\angle C = \angle B = 135^{\circ}$.

Таким образом, углы трапеции равны $45^{\circ}$, $135^{\circ}$, $135^{\circ}$ и $45^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}, 135^{\circ}, 135^{\circ}, 45^{\circ}$.