Номер 198, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите тангенс угла при основании треугольника.

198. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите тангенс угла при основании треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AC$ — основание, а $AB$ и $BC$ — боковые стороны. Согласно условию, длина основания $AC = 10$ см, а длина боковых сторон $AB = BC = 13$ см. Необходимо найти тангенс угла при основании, например, угла $A$ ($\angle BAC$).

Для нахождения тригонометрических функций угла нам потребуется прямоугольный треугольник. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AC$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

• Так как $BH$ — высота, то она перпендикулярна основанию $AC$, и, следовательно, треугольники $ABH$ и $CBH$ являются прямоугольными ($\angle BHA = 90^\circ$).
• Так как $BH$ — медиана, она делит основание $AC$ на два равных отрезка: $AH = HC = \frac{AC}{2}$.

Вычислим длину отрезка $AH$: $AH = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем известны:

• гипотенуза $AB = 13$ см (боковая сторона исходного треугольника).
• катет $AH = 5$ см.

Найдем длину второго катета $BH$ (высоты) с помощью теоремы Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2$. $BH^2 = AB^2 - AH^2$ $BH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ $BH = \sqrt{144} = 12$ см.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла $A$ в треугольнике $ABH$: $\tan(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BH}{AH}$

Подставим известные значения: $\tan(\angle A) = \frac{12}{5}$

Тангенс угла при основании равен $\frac{12}{5}$, что в виде десятичной дроби составляет 2,4.

Ответ: $\frac{12}{5}$.