Номер 200, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Решение прямоугольных треугольников. Вариант 2. Упражнения - номер 200, страница 60.

Условие 2017.

200. Найдите неизвестные стороны прямоугольного тре-угольника $ABC (\angle C = 90^\circ)$, если:

1) $AC = 3$ см, $\cos A = \frac{1}{4}$;

2) $BC = 5$ см, $\sin A = \frac{2}{3}$;

3) $AC = 8$ см, $\operatorname{tg} B = 3$;

4) $AC = 6$ см, $\cos B = \frac{1}{3}$;

5) $AB = 12$ см, $\cos B = \frac{4}{5}$;

6) $AB = 8$ см, $\operatorname{ctg} B = \frac{6}{7}$.

Условие 2021.

200. Найдите неизвестные стороны прямоугольного треугольника ABC ($\angle C = 90^\circ$), если:

1) $AC = 3 \text{ см}, \cos A = \frac{1}{4};$

2) $BC = 5 \text{ см}, \sin A = \frac{2}{3};$

3) $AC = 8 \text{ см}, \text{tg} B = 3;$

4) $AC = 6 \text{ см}, \cos B = \frac{1}{3};$

5) $AB = 12 \text{ см}, \cos B = \frac{4}{5};$

6) $AB = 8 \text{ см}, \text{ctg} B = \frac{6}{7}.$

Решение 2021.

Во всех задачах рассматривается прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Катеты — $AC$ и $BC$, гипотенуза — $AB$. Для решения используются определения тригонометрических функций и теорема Пифагора ($AC^2 + BC^2 = AB^2$).

1) Дано: $AC = 3$ см, $\cos A = \frac{1}{4}$.

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике: $\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$.
Выразим гипотенузу $AB$:
$AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{3}{1/4} = 12$ см.
По теореме Пифагора найдем катет $BC$:
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{12^2 - 3^2} = \sqrt{144 - 9} = \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$ см.
Ответ: $AB = 12$ см, $BC = 3\sqrt{15}$ см.

2) Дано: $BC = 5$ см, $\sin A = \frac{2}{3}$.

По определению синуса острого угла: $\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}$.
Выразим гипотенузу $AB$:
$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{5}{2/3} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.
По теореме Пифагора найдем катет $AC$:
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(7.5)^2 - 5^2} = \sqrt{56.25 - 25} = \sqrt{31.25} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$ см.
Ответ: $AB = 7.5$ см, $AC = \frac{5\sqrt{5}}{2}$ см.

3) Дано: $AC = 8$ см, $\text{tg } B = 3$.

По определению тангенса острого угла: $\text{tg } B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AC}{BC}$.
Выразим катет $BC$:
$BC = \frac{AC}{\text{tg } B} = \frac{8}{3}$ см.
По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + (\frac{8}{3})^2} = \sqrt{64 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{576+64}{9}} = \sqrt{\frac{640}{9}} = \frac{8\sqrt{10}}{3}$ см.
Ответ: $BC = \frac{8}{3}$ см, $AB = \frac{8\sqrt{10}}{3}$ см.

4) Дано: $AC = 6$ см, $\cos B = \frac{1}{3}$.

Для нахождения гипотенузы $AB$ сначала найдем $\sin B$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$:
$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
По определению синуса $\sin B = \frac{AC}{AB}$, выразим $AB$:
$AB = \frac{AC}{\sin B} = \frac{6}{2\sqrt{2}/3} = \frac{18}{2\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см.
По определению косинуса $\cos B = \frac{BC}{AB}$, выразим $BC$:
$BC = AB \cdot \cos B = \frac{9\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.
Ответ: $AB = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см, $BC = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

5) Дано: $AB = 12$ см, $\cos B = \frac{4}{5}$.

По определению косинуса $\cos B = \frac{BC}{AB}$, выразим катет $BC$:
$BC = AB \cdot \cos B = 12 \cdot \frac{4}{5} = \frac{48}{5} = 9.6$ см.
Найдем катет $AC$ по теореме Пифагора:
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{12^2 - (9.6)^2} = \sqrt{144 - 92.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ см.
Ответ: $BC = 9.6$ см, $AC = 7.2$ см.

6) Дано: $AB = 8$ см, $\text{ctg } B = \frac{6}{7}$.

По определению котангенса $\text{ctg } B = \frac{BC}{AC}$. Отсюда имеем соотношение катетов: $BC = \frac{6}{7} AC$.
Подставим это в теорему Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$:
$AC^2 + (\frac{6}{7} AC)^2 = 8^2$
$AC^2 + \frac{36}{49} AC^2 = 64$
$AC^2 (1 + \frac{36}{49}) = 64 \implies AC^2 (\frac{85}{49}) = 64$
$AC^2 = \frac{64 \cdot 49}{85} \implies AC = \sqrt{\frac{64 \cdot 49}{85}} = \frac{8 \cdot 7}{\sqrt{85}} = \frac{56}{\sqrt{85}} = \frac{56\sqrt{85}}{85}$ см.
Теперь найдем $BC$:
$BC = \frac{6}{7} AC = \frac{6}{7} \cdot \frac{56\sqrt{85}}{85} = \frac{6 \cdot 8\sqrt{85}}{85} = \frac{48\sqrt{85}}{85}$ см.
Ответ: $AC = \frac{56\sqrt{85}}{85}$ см, $BC = \frac{48\sqrt{85}}{85}$ см.