Номер 196, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

196. Найдите $ \cos\alpha $, $ \text{tg}\alpha $ и $ \text{ctg}\alpha $, если $ \sin\alpha = \frac{1}{6} $.

196. Найдите $cos\alpha$, $tg\alpha$ и $ctg\alpha$, если $sin\alpha = \frac{1}{6}$.

Для решения задачи воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. Поскольку значение $sinα = \frac{1}{6}$ положительно, угол $α$ может находиться либо в первой, либо во второй координатной четверти. Это означает, что для $cosα$, $tgα$ и $ctgα$ будет по два возможных значения (положительное и отрицательное).

cosα

Для нахождения $cosα$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2α + cos^2α = 1$.

Подставим известное значение $sinα = \frac{1}{6}$ в тождество:

$(\frac{1}{6})^2 + cos^2α = 1$

$\frac{1}{36} + cos^2α = 1$

Выразим $cos^2α$:

$cos^2α = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных значения для $cosα$:

$cosα = \pm\sqrt{\frac{35}{36}} = \pm\frac{\sqrt{35}}{6}$

Ответ: $cosα = \frac{\sqrt{35}}{6}$ или $cosα = -\frac{\sqrt{35}}{6}$.

tgα

Тангенс угла определяется по формуле $tgα = \frac{sinα}{cosα}$.

Мы должны рассмотреть два случая, соответствующие двум значениям $cosα$.

Случай 1: $cosα = \frac{\sqrt{35}}{6}$ (угол в I четверти).

$tgα = \frac{1/6}{\sqrt{35}/6} = \frac{1}{\sqrt{35}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $tgα = \frac{1 \cdot \sqrt{35}}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{35}} = \frac{\sqrt{35}}{35}$.

Случай 2: $cosα = -\frac{\sqrt{35}}{6}$ (угол во II четверти).

$tgα = \frac{1/6}{-\sqrt{35}/6} = -\frac{1}{\sqrt{35}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $tgα = -\frac{1 \cdot \sqrt{35}}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{35}} = -\frac{\sqrt{35}}{35}$.

Ответ: $tgα = \frac{\sqrt{35}}{35}$ или $tgα = -\frac{\sqrt{35}}{35}$.

ctgα

Котангенс угла можно найти как величину, обратную тангенсу: $ctgα = \frac{1}{tgα}$.

Рассмотрим два случая, соответствующие двум значениям $tgα$.

Случай 1: $tgα = \frac{1}{\sqrt{35}}$ (угол в I четверти).

$ctgα = \frac{1}{1/\sqrt{35}} = \sqrt{35}$

Случай 2: $tgα = -\frac{1}{\sqrt{35}}$ (угол во II четверти).

$ctgα = \frac{1}{-1/\sqrt{35}} = -\sqrt{35}$

Ответ: $ctgα = \sqrt{35}$ или $ctgα = -\sqrt{35}$.