Номер 191, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

191. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной $15 \text{ см}$ и $20 \text{ см}$. Найдите периметр треугольника.

191. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Пусть $a$ и $b$ — длины катетов $BC$ и $AC$ соответственно, а $c$ — длина гипотенузы $AB$.

Из вершины прямого угла $C$ проведена биссектриса $CD$, которая делит гипотенузу $AB$ на отрезки $AD$ и $DB$. По условию, длины этих отрезков равны 15 см и 20 см.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков: $c = AB = 15 + 20 = 35$ см.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае: $\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB}$ Пусть $AD = 15$ см и $DB = 20$ см. Тогда: $\frac{b}{a} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ Из этого соотношения мы можем выразить одну сторону через другую: $b = \frac{3}{4}a$.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение выражение для $b$ и значение $c$: $a^2 + (\frac{3}{4}a)^2 = 35^2$ $a^2 + \frac{9}{16}a^2 = 1225$ $\frac{16a^2 + 9a^2}{16} = 1225$ $\frac{25a^2}{16} = 1225$

Решим уравнение относительно $a$: $a^2 = \frac{1225 \times 16}{25}$ $a^2 = 49 \times 16$ $a = \sqrt{49 \times 16} = \sqrt{49} \times \sqrt{16} = 7 \times 4 = 28$ см.

Теперь найдем длину второго катета $b$: $b = \frac{3}{4}a = \frac{3}{4} \times 28 = 3 \times 7 = 21$ см.

Итак, мы нашли длины всех сторон треугольника: катет $a = 28$ см, катет $b = 21$ см, гипотенуза $c = 35$ см.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + b + c = 28 + 21 + 35 = 84$ см.

Ответ: 84 см.