Номер 189, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

189. Две окружности, радиусы которых равны 16 см и 9 см, имеют одну общую точку C (рис. 73). Прямая m касается этих окружностей в точках A и B. Найдите отрезок AB.

Рис. 73

189. Две окружности, радиусы которых равны 16 см и 9 см, имеют одну общую точку $C$ (рис. 73). Прямая $m$ касается этих окружностей в точках $A$ и $B$. Найдите отрезок $AB$.

Рис. 73

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры большей и меньшей окружностей соответственно, а $R$ и $r$ — их радиусы. По условию задачи, $R = 16$ см и $r = 9$ см.

Так как окружности касаются внешним образом в точке $C$, расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно сумме их радиусов. Точки $O_1$, $C$ и $O_2$ лежат на одной прямой.$O_1O_2 = R + r = 16 + 9 = 25$ см.

Проведем радиусы $O_1A$ и $O_2B$ к точкам касания $A$ и $B$ на прямой $m$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $O_1A \perp m$ и $O_2B \perp m$.

Поскольку отрезки $O_1A$ и $O_2B$ перпендикулярны одной и той же прямой $AB$, они параллельны друг другу ($O_1A \parallel O_2B$). Таким образом, четырехугольник $ABO_2O_1$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A$ и $O_2B$ и боковой стороной $AB$, перпендикулярной основаниям.

Для нахождения длины $AB$ проведем из точки $O_2$ высоту $O_2D$ на основание $O_1A$. Точка $D$ будет лежать на отрезке $O_1A$. Полученный четырехугольник $ABO_2D$ является прямоугольником, так как все его углы прямые. Отсюда следует, что $AB = O_2D$ и $AD = O_2B = 9$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1DO_2$. Его гипотенуза — это отрезок, соединяющий центры окружностей, $O_1O_2 = 25$ см.Один из катетов — это $O_1D$. Его длину можно найти как разность радиусов:$O_1D = O_1A - AD = R - r = 16 - 9 = 7$ см.Второй катет $O_2D$ равен искомому отрезку $AB$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle O_1DO_2$:$(O_1O_2)^2 = (O_1D)^2 + (O_2D)^2$

Подставим известные значения в формулу:$25^2 = 7^2 + (AB)^2$$625 = 49 + (AB)^2$$(AB)^2 = 625 - 49$$(AB)^2 = 576$$AB = \sqrt{576}$$AB = 24$ см.

Ответ: 24 см.