Номер 190, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

190. Точки $C$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $b$. Из этих точек к прямой $b$ проведены перпендикуляры $CE$ и $DF$. Найдите отрезок $CD$, если $CE = 1$ см, $DF = 7$ см, $EF = 15$ см.

190. Точки $C$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $b$. Из этих точек к прямой $b$ проведены перпендикуляры $CE$ и $DF$. Найдите отрезок $CD$, если $CE = 1$ см, $DF = 7$ см, $EF = 15$ см.

Поскольку отрезки CE и DF перпендикулярны одной и той же прямой b, они параллельны друг другу ($CE \parallel DF$).

Для нахождения длины отрезка CD воспользуемся дополнительным построением. Проведем из точки C прямую, параллельную прямой b (а значит, и отрезку EF), до пересечения с прямой DF в точке G.

Рассмотрим получившийся четырехугольник CEFG. В нем:

• $CE \parallel FG$ (как перпендикуляры к одной прямой).
• $CG \parallel EF$ (по построению).
• $\angle CEF = 90^\circ$ (так как CE — перпендикуляр).

Следовательно, четырехугольник CEFG является прямоугольником. Из этого следует, что его противоположные стороны равны:

$CG = EF = 15$ см

$FG = CE = 1$ см

Теперь рассмотрим треугольник CDG. Так как $CG \parallel EF$ и $DF \perp EF$, то прямая CG перпендикулярна прямой DF, то есть $\angle CGD = 90^\circ$. Таким образом, треугольник CDG — прямоугольный.

Найдем длины его катетов:

Катет $CG = 15$ см.

Так как точки C и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой b, длина катета DG будет равна сумме длин отрезков DF и FG:

$DG = DF + FG = 7 \text{ см} + 1 \text{ см} = 8$ см.

Применим теорему Пифагора для нахождения гипотенузы CD в прямоугольном треугольнике CDG:

$CD^2 = CG^2 + DG^2$

$CD^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$

$CD = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: 17 см.