Номер 186, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

186. Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 15 см, а её проекция на эту прямую — 12 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол $45^\circ$.

186. Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 15 см, а её проекция на эту прямую — 12 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол $45^\circ$.

Пусть из точки A к прямой a проведен перпендикуляр AH и две наклонные AB и AC. Тогда HB и HC — это проекции этих наклонных на прямую a. Треугольники ΔAHB и ΔAHC являются прямоугольными с общим катетом AH, который представляет собой расстояние от точки до прямой.

По условию задачи, длина первой наклонной AB = 15 см, а ее проекция HB = 12 см. Для второй наклонной AC известно, что угол, который она образует с прямой, равен 45°, то есть ∠ACH = 45°.

1. Нахождение расстояния от точки до прямой

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAHB. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$AB^2 = AH^2 + HB^2$
Отсюда найдем катет AH:
$AH^2 = AB^2 - HB^2$
Подставим известные значения:
$AH^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$
$AH = \sqrt{81} = 9$ см.
Таким образом, расстояние от точки до прямой составляет 9 см.

2. Нахождение длины второй наклонной

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAHC. В нем известен катет AH = 9 см и угол ∠ACH = 45°.
Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а ∠AHC = 90° и ∠ACH = 45°, то третий угол ∠CAH = 180° - 90° - 45° = 45°.
Поскольку два угла в треугольнике ΔAHC равны, он является равнобедренным, и катеты AH и HC равны: AH = HC = 9 см.
Длину второй наклонной AC (гипотенузы) можно найти несколькими способами.

Способ 1: по теореме Пифагора
$AC^2 = AH^2 + HC^2 = 9^2 + 9^2 = 81 + 81 = 162$
$AC = \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$ см.

Способ 2: через синус угла
Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$sin(∠ACH) = \frac{AH}{AC}$
Отсюда выразим гипотенузу AC:
$AC = \frac{AH}{sin(∠ACH)} = \frac{9}{sin(45°)}$
Так как $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$AC = \frac{9}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{18}{\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$ см.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $9\sqrt{2}$ см.