Номер 187, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

187. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 5 см и 7 см. Найдите расстояние от точки до данной прямой, если разность проекций наклонных на эту прямую равна 4 см.

187. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 5 см и 7 см. Найдите расстояние от точки до данной прямой, если разность проекций наклонных на эту прямую равна 4 см.

Пусть из точки A к прямой a проведен перпендикуляр AH и две наклонные AB и AC. Тогда AH — это искомое расстояние от точки до прямой, а HB и HC — проекции наклонных AB и AC на прямую a.

По условию задачи, длины наклонных равны $AB = 5$ см и $AC = 7$ см. Разность проекций равна 4 см. Поскольку большей наклонной соответствует большая проекция, то $HC > HB$, следовательно, $HC - HB = 4$ см.

Треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными, так как AH — перпендикуляр к прямой a. По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:
$AB^2 = AH^2 + HB^2$
$AC^2 = AH^2 + HC^2$

Обозначим искомое расстояние $AH$ через $h$, а длину меньшей проекции $HB$ через $x$. Тогда длина большей проекции будет $HC = x + 4$.

Подставим известные значения в уравнения и получим систему:
$\begin{cases} 5^2 = h^2 + x^2 \\ 7^2 = h^2 + (x+4)^2 \end{cases}$
$\begin{cases} 25 = h^2 + x^2 \\ 49 = h^2 + x^2 + 8x + 16 \end{cases}$

Выразим $h^2$ из первого уравнения: $h^2 = 25 - x^2$.

Подставим выражение для $h^2$ во второе уравнение:
$49 = (25 - x^2) + x^2 + 8x + 16$

Решим полученное уравнение относительно $x$:
$49 = 41 + 8x$
$8x = 49 - 41$
$8x = 8$
$x = 1$ (см)

Мы нашли длину меньшей проекции $HB = 1$ см. Теперь найдем искомое расстояние $h$, подставив значение $x$ в выражение для $h^2$:
$h^2 = 25 - x^2 = 25 - 1^2 = 24$
$h = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$ (см)

Ответ: $2\sqrt{6}$ см.