Номер 185, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) проведена высота $BE$. Известно, что $CE = 1$ см, $AE = 24$ см. Найдите основание $AB$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

185. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) проведена высота $BE$. Известно, что $CE = 1$ см, $AE = 24$ см.

Найдите основание $AB$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

Найдите основание AB треугольника.

Положение точки E (основания высоты BE) на прямой, содержащей сторону AC, зависит от величины угла C. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Угол C — острый.

Если угол C острый, то основание высоты E лежит на отрезке AC. В этом случае длина боковой стороны AC равна сумме длин отрезков AE и CE.

$AC = AE + CE = 24 \text{ см} + 1 \text{ см} = 25 \text{ см}$.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, то его боковые стороны равны: $BC = AC = 25$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BEC. Поскольку BE — высота, то $\angle BEC = 90^\circ$. По теореме Пифагора найдём квадрат длины высоты BE:

$BE^2 = BC^2 - CE^2 = 25^2 - 1^2 = 625 - 1 = 624$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AEB ($\angle AEB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдём длину основания AB:

$AB^2 = AE^2 + BE^2 = 24^2 + 624 = 576 + 624 = 1200$.

$AB = \sqrt{1200} = \sqrt{400 \cdot 3} = 20\sqrt{3}$ см.

Случай 2: Угол C — тупой.

Если угол C тупой, то основание высоты E будет лежать на продолжении стороны AC за точку C. Тогда длина боковой стороны AC будет равна разности длин отрезков AE и CE.

$AC = AE - CE = 24 \text{ см} - 1 \text{ см} = 23 \text{ см}$.

Так как треугольник ABC равнобедренный, $BC = AC = 23$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BEC ($\angle BEC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдём квадрат высоты BE:

$BE^2 = BC^2 - CE^2 = 23^2 - 1^2 = 529 - 1 = 528$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AEB ($\angle AEB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдём длину основания AB:

$AB^2 = AE^2 + BE^2 = 24^2 + 528 = 576 + 528 = 1104$.

$AB = \sqrt{1104} = \sqrt{16 \cdot 69} = 4\sqrt{69}$ см.

Таким образом, основание AB может принимать два различных значения.

Ответ: $20\sqrt{3}$ см или $4\sqrt{69}$ см.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку мы нашли два различных возможных значения для длины основания AB, и каждое из них соответствует геометрически непротиворечивой конфигурации треугольника, задача имеет два решения.

Ответ: 2.