Номер 184, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

184. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 13$ см, $AB = 15$ см, а высота $AE$ равна 12 см. Найдите сторону $BC$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

184. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 13$ см, $AB = 15$ см, а высота $AE = 12$ см. Найдите сторону $BC$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

Для решения задачи рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые образует высота $AE$, проведенная к прямой $BC$: $\triangle AEB$ и $\triangle AEC$. В обоих треугольниках высота $AE$ является катетом.

1. В прямоугольном треугольнике $\triangle AEC$ известны гипотенуза $AC = 13$ см и катет $AE = 12$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $CE$:

$CE^2 = AC^2 - AE^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$

$CE = \sqrt{25} = 5$ см.

2. В прямоугольном треугольнике $\triangle AEB$ известны гипотенуза $AB = 15$ см и катет $AE = 12$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $BE$:

$BE^2 = AB^2 - AE^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$

$BE = \sqrt{81} = 9$ см.

Длина стороны $BC$ зависит от расположения точки $E$ (основания высоты) на прямой $BC$.

Найдите сторону BC треугольника.

Существует два возможных случая:

Случай 1: Точка $E$ лежит на отрезке $BC$. Это возможно, если углы при основании $BC$ (углы $\angle B$ и $\angle C$) острые. В этом случае длина $BC$ равна сумме длин отрезков $BE$ и $CE$.

$BC = BE + CE = 9 + 5 = 14$ см.

Случай 2: Точка $E$ лежит на продолжении отрезка $BC$. Это возможно, если один из углов при основании $BC$ тупой.

а) Если точка $C$ лежит между точками $B$ и $E$ (угол $\angle C$ тупой), то $BC = BE - CE$.

$BC = 9 - 5 = 4$ см.

б) Если точка $B$ лежит между точками $C$ и $E$ (угол $\angle B$ тупой), то $BC = CE - BE$.

$BC = 5 - 9 = -4$ см.

Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому этот вариант невозможен.

Таким образом, сторона $BC$ может принимать два значения.

Ответ: $BC = 14$ см или $BC = 4$ см.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку мы нашли два различных положительных значения для длины стороны $BC$, которые соответствуют двум геометрически возможным конфигурациям треугольника, задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.