Номер 192, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

192. Постройте отрезок $x$, если $x = \sqrt{4a^2 + b^2}$, где $a$ и $b$ — длины данных отрезков.

192. Постройте отрезок $x$, если $x = \sqrt{4a^2 + b^2}$, где $a$ и $b$ —
длины данных отрезков.

Для построения отрезка $x$ необходимо проанализировать заданную формулу: $x = \sqrt{4a^2 + b^2}$.

Возведем обе части равенства в квадрат, чтобы получить более удобный для геометрической интерпретации вид: $x^2 = 4a^2 + b^2$.

Заметим, что слагаемое $4a^2$ можно представить как квадрат выражения $2a$, то есть $4a^2 = (2a)^2$. Тогда формула примет вид:

$x^2 = (2a)^2 + b^2$

Данное уравнение является выражением теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, в котором катеты равны $2a$ и $b$, а гипотенуза равна $x$.

Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника с катетами $2a$ и $b$. Длина гипотенузы этого треугольника будет равна искомой длине $x$.

Алгоритм построения:

1. Начертим произвольную прямую. Отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля измерим длину данного отрезка $a$. Отложим от точки $A$ на прямой этот отрезок дважды в одном направлении. Получим точку $B$. Длина отрезка $AB$ будет равна $2a$.
3. В точке $A$ построим прямую, перпендикулярную прямой $AB$. Для этого можно использовать циркуль и линейку.
4. С помощью циркуля измерим длину данного отрезка $b$. Отложим от точки $A$ на перпендикулярной прямой отрезок длиной $b$. Обозначим его конец точкой $C$. Таким образом, мы получили отрезок $AC$ длиной $b$ и прямой угол $\angle CAB = 90^\circ$.
5. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком.
6. Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным с катетами $AB = 2a$ и $AC = b$. Его гипотенуза $BC$ и есть искомый отрезок $x$.

По теореме Пифагора, длина гипотенузы $BC$ равна $\sqrt{(AB)^2 + (AC)^2} = \sqrt{(2a)^2 + b^2} = \sqrt{4a^2 + b^2}$.

Ответ: Искомый отрезок $x$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого имеют длины $2a$ и $b$.