Номер 193, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

193. Постройте угол:

1) синус которого равен $\frac{2}{9}$;

2) котангенс которого равен 3.

193. Постройте угол:

1) синус которого равен $ \frac{2}{9} $;

2) котангенс которого равен 3.

1) Чтобы построить угол $\alpha$, синус которого равен $\frac{2}{9}$, нужно построить прямоугольный треугольник, в котором отношение противолежащего катета к гипотенузе равно $\frac{2}{9}$. Пусть противолежащий катет равен 2 условным единицам, а гипотенуза — 9 условным единицам.
Порядок построения:
1. Построим прямой угол с вершиной в точке B. Пусть его стороны — лучи $l_1$ и $l_2$.
2. На луче $l_1$ отложим отрезок $BA$ длиной 2 единицы.
3. Проведем окружность с центром в точке A и радиусом 9 единиц.
4. Точка пересечения этой окружности и луча $l_2$ будет точкой C.
5. Соединим точки A и C. Получим прямоугольный треугольник ABC, где $\angle B = 90^\circ$, катет $AB = 2$, гипотенуза $AC = 9$.
Угол $\angle ACB$ — искомый, так как $\sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{9}$.
Ответ: Угол $\angle ACB$ в построенном треугольнике является искомым.

2) Чтобы построить угол $\beta$, котангенс которого равен 3, нужно построить прямоугольный треугольник, в котором отношение прилежащего катета к противолежащему равно 3. Представим 3 как дробь $\frac{3}{1}$. Пусть прилежащий катет равен 3 условным единицам, а противолежащий — 1 условной единице.
Порядок построения:
1. Построим прямой угол с вершиной в точке B.
2. На одной из сторон угла отложим отрезок $BC$ длиной 3 единицы (это будет прилежащий катет).
3. На другой стороне угла отложим отрезок $BA$ длиной 1 единица (это будет противолежащий катет).
4. Соединим точки A и C. Получим прямоугольный треугольник ABC, где $\angle B = 90^\circ$, катет $BC = 3$, катет $AB = 1$.
Угол $\angle ACB$ — искомый, так как $\cot(\angle ACB) = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{1} = 3$.
Ответ: Угол $\angle ACB$ в построенном треугольнике является искомым.