Страница 59 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

190. Точки $C$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $b$. Из этих точек к прямой $b$ проведены перпендикуляры $CE$ и $DF$. Найдите отрезок $CD$, если $CE = 1$ см, $DF = 7$ см, $EF = 15$ см.

190. Точки $C$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $b$. Из этих точек к прямой $b$ проведены перпендикуляры $CE$ и $DF$. Найдите отрезок $CD$, если $CE = 1$ см, $DF = 7$ см, $EF = 15$ см.

Поскольку отрезки CE и DF перпендикулярны одной и той же прямой b, они параллельны друг другу ($CE \parallel DF$).

Для нахождения длины отрезка CD воспользуемся дополнительным построением. Проведем из точки C прямую, параллельную прямой b (а значит, и отрезку EF), до пересечения с прямой DF в точке G.

Рассмотрим получившийся четырехугольник CEFG. В нем:

• $CE \parallel FG$ (как перпендикуляры к одной прямой).
• $CG \parallel EF$ (по построению).
• $\angle CEF = 90^\circ$ (так как CE — перпендикуляр).

Следовательно, четырехугольник CEFG является прямоугольником. Из этого следует, что его противоположные стороны равны:

$CG = EF = 15$ см

$FG = CE = 1$ см

Теперь рассмотрим треугольник CDG. Так как $CG \parallel EF$ и $DF \perp EF$, то прямая CG перпендикулярна прямой DF, то есть $\angle CGD = 90^\circ$. Таким образом, треугольник CDG — прямоугольный.

Найдем длины его катетов:

Катет $CG = 15$ см.

Так как точки C и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой b, длина катета DG будет равна сумме длин отрезков DF и FG:

$DG = DF + FG = 7 \text{ см} + 1 \text{ см} = 8$ см.

Применим теорему Пифагора для нахождения гипотенузы CD в прямоугольном треугольнике CDG:

$CD^2 = CG^2 + DG^2$

$CD^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$

$CD = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: 17 см.

191. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной $15 \text{ см}$ и $20 \text{ см}$. Найдите периметр треугольника.

191. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Пусть $a$ и $b$ — длины катетов $BC$ и $AC$ соответственно, а $c$ — длина гипотенузы $AB$.

Из вершины прямого угла $C$ проведена биссектриса $CD$, которая делит гипотенузу $AB$ на отрезки $AD$ и $DB$. По условию, длины этих отрезков равны 15 см и 20 см.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков: $c = AB = 15 + 20 = 35$ см.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае: $\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB}$ Пусть $AD = 15$ см и $DB = 20$ см. Тогда: $\frac{b}{a} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ Из этого соотношения мы можем выразить одну сторону через другую: $b = \frac{3}{4}a$.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение выражение для $b$ и значение $c$: $a^2 + (\frac{3}{4}a)^2 = 35^2$ $a^2 + \frac{9}{16}a^2 = 1225$ $\frac{16a^2 + 9a^2}{16} = 1225$ $\frac{25a^2}{16} = 1225$

Решим уравнение относительно $a$: $a^2 = \frac{1225 \times 16}{25}$ $a^2 = 49 \times 16$ $a = \sqrt{49 \times 16} = \sqrt{49} \times \sqrt{16} = 7 \times 4 = 28$ см.

Теперь найдем длину второго катета $b$: $b = \frac{3}{4}a = \frac{3}{4} \times 28 = 3 \times 7 = 21$ см.

Итак, мы нашли длины всех сторон треугольника: катет $a = 28$ см, катет $b = 21$ см, гипотенуза $c = 35$ см.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + b + c = 28 + 21 + 35 = 84$ см.

Ответ: 84 см.

192. Постройте отрезок $x$, если $x = \sqrt{4a^2 + b^2}$, где $a$ и $b$ — длины данных отрезков.

192. Постройте отрезок $x$, если $x = \sqrt{4a^2 + b^2}$, где $a$ и $b$ —
длины данных отрезков.

Для построения отрезка $x$ необходимо проанализировать заданную формулу: $x = \sqrt{4a^2 + b^2}$.

Возведем обе части равенства в квадрат, чтобы получить более удобный для геометрической интерпретации вид: $x^2 = 4a^2 + b^2$.

Заметим, что слагаемое $4a^2$ можно представить как квадрат выражения $2a$, то есть $4a^2 = (2a)^2$. Тогда формула примет вид:

$x^2 = (2a)^2 + b^2$

Данное уравнение является выражением теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, в котором катеты равны $2a$ и $b$, а гипотенуза равна $x$.

Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника с катетами $2a$ и $b$. Длина гипотенузы этого треугольника будет равна искомой длине $x$.

Алгоритм построения:

1. Начертим произвольную прямую. Отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля измерим длину данного отрезка $a$. Отложим от точки $A$ на прямой этот отрезок дважды в одном направлении. Получим точку $B$. Длина отрезка $AB$ будет равна $2a$.
3. В точке $A$ построим прямую, перпендикулярную прямой $AB$. Для этого можно использовать циркуль и линейку.
4. С помощью циркуля измерим длину данного отрезка $b$. Отложим от точки $A$ на перпендикулярной прямой отрезок длиной $b$. Обозначим его конец точкой $C$. Таким образом, мы получили отрезок $AC$ длиной $b$ и прямой угол $\angle CAB = 90^\circ$.
5. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком.
6. Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным с катетами $AB = 2a$ и $AC = b$. Его гипотенуза $BC$ и есть искомый отрезок $x$.

По теореме Пифагора, длина гипотенузы $BC$ равна $\sqrt{(AB)^2 + (AC)^2} = \sqrt{(2a)^2 + b^2} = \sqrt{4a^2 + b^2}$.

Ответ: Искомый отрезок $x$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого имеют длины $2a$ и $b$.

193. Постройте угол:

1) синус которого равен $\frac{2}{9}$;

2) котангенс которого равен 3.

193. Постройте угол:

1) синус которого равен $ \frac{2}{9} $;

2) котангенс которого равен 3.

1) Чтобы построить угол $\alpha$, синус которого равен $\frac{2}{9}$, нужно построить прямоугольный треугольник, в котором отношение противолежащего катета к гипотенузе равно $\frac{2}{9}$. Пусть противолежащий катет равен 2 условным единицам, а гипотенуза — 9 условным единицам.
Порядок построения:
1. Построим прямой угол с вершиной в точке B. Пусть его стороны — лучи $l_1$ и $l_2$.
2. На луче $l_1$ отложим отрезок $BA$ длиной 2 единицы.
3. Проведем окружность с центром в точке A и радиусом 9 единиц.
4. Точка пересечения этой окружности и луча $l_2$ будет точкой C.
5. Соединим точки A и C. Получим прямоугольный треугольник ABC, где $\angle B = 90^\circ$, катет $AB = 2$, гипотенуза $AC = 9$.
Угол $\angle ACB$ — искомый, так как $\sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{9}$.
Ответ: Угол $\angle ACB$ в построенном треугольнике является искомым.

2) Чтобы построить угол $\beta$, котангенс которого равен 3, нужно построить прямоугольный треугольник, в котором отношение прилежащего катета к противолежащему равно 3. Представим 3 как дробь $\frac{3}{1}$. Пусть прилежащий катет равен 3 условным единицам, а противолежащий — 1 условной единице.
Порядок построения:
1. Построим прямой угол с вершиной в точке B.
2. На одной из сторон угла отложим отрезок $BC$ длиной 3 единицы (это будет прилежащий катет).
3. На другой стороне угла отложим отрезок $BA$ длиной 1 единица (это будет противолежащий катет).
4. Соединим точки A и C. Получим прямоугольный треугольник ABC, где $\angle B = 90^\circ$, катет $BC = 3$, катет $AB = 1$.
Угол $\angle ACB$ — искомый, так как $\cot(\angle ACB) = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{1} = 3$.
Ответ: Угол $\angle ACB$ в построенном треугольнике является искомым.

194. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 6 см и 10 см. Найдите:

1) синус угла, противолежащего большему катету;

2) косинус угла, прилежащего к меньшему катету;

3) котангенс угла, противолежащего большему катету.

194. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 6 см и 10 см. Найдите:

1) синус угла, противолежащего большему катету;

2) косинус угла, прилежащего к меньшему катету;

3) котангенс угла, противолежащего большему катету.

Пусть дан прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.По условию, один из катетов равен 6 см, а гипотенуза равна 10 см.Пусть $a = 6$ см, $c = 10$ см.

Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

$6^2 + b^2 = 10^2$

$36 + b^2 = 100$

$b^2 = 100 - 36$

$b^2 = 64$

$b = \sqrt{64} = 8$ см.

Таким образом, катеты треугольника равны 6 см и 8 см.Меньший катет равен 6 см.Больший катет равен 8 см.

Пусть $\alpha$ — угол, противолежащий меньшему катету (6 см), а $\beta$ — угол, противолежащий большему катету (8 см).

1) синус угла, противолежащего большему катету;

Нужно найти синус угла, противолежащего большему катету (8 см), то есть синус угла $\beta$. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$ \sin(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{8}{10} = 0,8 $

Ответ: 0,8.

2) косинус угла, прилежащего к меньшему катету;

Нужно найти косинус угла, прилежащего к меньшему катету (6 см). Этот острый угол является противолежащим для большего катета, то есть это угол $\beta$. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$ \cos(\beta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{6}{10} = 0,6 $

Ответ: 0,6.

3) котангенс угла, противолежащего большему катету.

Нужно найти котангенс угла, противолежащего большему катету (8 см), то есть котангенс угла $\beta$. Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему.

$ \text{ctg}(\beta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75 $

Ответ: 0,75.

195. Найдите значение выражения:

1) $ \cot^2 60^\circ + \sin 30^\circ $

2) $ 4\cos^2 45^\circ + \tan^2 30^\circ $

195. Найдите значение выражения:

1) $ctg^2 60^\circ + \sin 30^\circ$;

2) $4\cos^2 45^\circ + tg^2 30^\circ$.

Для нахождения значения выражения $ctg^2{60^{\circ}} + sin{30^{\circ}}$ воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.

Значение котангенса 60 градусов: $ctg(60^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Значение синуса 30 градусов: $sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$.

Подставляем эти значения в исходное выражение:

$ctg^2{60^{\circ}} + sin{30^{\circ}} = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + \frac{1}{2}$

Сначала вычисляем квадрат первого слагаемого:

$(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1^2}{(\sqrt{3})^2} = \frac{1}{3}$

Теперь выполняем сложение, приводя дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

Для нахождения значения выражения $4cos^2{45^{\circ}} + tg^2{30^{\circ}}$ воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.

Значение косинуса 45 градусов: $cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Значение тангенса 30 градусов: $tg(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставляем эти значения в исходное выражение:

$4cos^2{45^{\circ}} + tg^2{30^{\circ}} = 4 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2$

Вычисляем квадраты тригонометрических значений:

$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1^2}{(\sqrt{3})^2} = \frac{1}{3}$

Подставляем полученные результаты обратно в выражение и вычисляем:

$4 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3}$

Приводим к общему знаменателю:

$2 + \frac{1}{3} = \frac{2}{1} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Результат также можно записать в виде смешанной дроби $2\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$

196. Найдите $ \cos\alpha $, $ \text{tg}\alpha $ и $ \text{ctg}\alpha $, если $ \sin\alpha = \frac{1}{6} $.

196. Найдите $cos\alpha$, $tg\alpha$ и $ctg\alpha$, если $sin\alpha = \frac{1}{6}$.

Для решения задачи воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. Поскольку значение $sinα = \frac{1}{6}$ положительно, угол $α$ может находиться либо в первой, либо во второй координатной четверти. Это означает, что для $cosα$, $tgα$ и $ctgα$ будет по два возможных значения (положительное и отрицательное).

cosα

Для нахождения $cosα$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2α + cos^2α = 1$.

Подставим известное значение $sinα = \frac{1}{6}$ в тождество:

$(\frac{1}{6})^2 + cos^2α = 1$

$\frac{1}{36} + cos^2α = 1$

Выразим $cos^2α$:

$cos^2α = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных значения для $cosα$:

$cosα = \pm\sqrt{\frac{35}{36}} = \pm\frac{\sqrt{35}}{6}$

Ответ: $cosα = \frac{\sqrt{35}}{6}$ или $cosα = -\frac{\sqrt{35}}{6}$.

tgα

Тангенс угла определяется по формуле $tgα = \frac{sinα}{cosα}$.

Мы должны рассмотреть два случая, соответствующие двум значениям $cosα$.

Случай 1: $cosα = \frac{\sqrt{35}}{6}$ (угол в I четверти).

$tgα = \frac{1/6}{\sqrt{35}/6} = \frac{1}{\sqrt{35}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $tgα = \frac{1 \cdot \sqrt{35}}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{35}} = \frac{\sqrt{35}}{35}$.

Случай 2: $cosα = -\frac{\sqrt{35}}{6}$ (угол во II четверти).

$tgα = \frac{1/6}{-\sqrt{35}/6} = -\frac{1}{\sqrt{35}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $tgα = -\frac{1 \cdot \sqrt{35}}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{35}} = -\frac{\sqrt{35}}{35}$.

Ответ: $tgα = \frac{\sqrt{35}}{35}$ или $tgα = -\frac{\sqrt{35}}{35}$.

ctgα

Котангенс угла можно найти как величину, обратную тангенсу: $ctgα = \frac{1}{tgα}$.

Рассмотрим два случая, соответствующие двум значениям $tgα$.

Случай 1: $tgα = \frac{1}{\sqrt{35}}$ (угол в I четверти).

$ctgα = \frac{1}{1/\sqrt{35}} = \sqrt{35}$

Случай 2: $tgα = -\frac{1}{\sqrt{35}}$ (угол во II четверти).

$ctgα = \frac{1}{-1/\sqrt{35}} = -\sqrt{35}$

Ответ: $ctgα = \sqrt{35}$ или $ctgα = -\sqrt{35}$.