Страница 62 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

213. Может ли наибольший угол выпуклого шестиугольника быть равным $119^\circ$?

213. Может ли наибольший угол выпуклого шестиугольника быть равным $119^\circ$?

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$.

Для выпуклого шестиугольника, где число сторон $n=6$, сумма внутренних углов составляет: $S_6 = (6-2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$.

Допустим, что наибольший угол выпуклого шестиугольника равен $119^\circ$. Это означает, что все шесть его углов не превышают $119^\circ$. То есть, каждый из углов $\alpha_i$ удовлетворяет условию $\alpha_i \le 119^\circ$.

Оценим, какой может быть максимальная сумма всех шести углов при таком ограничении. Сумма будет максимальной, если все углы равны своему предельному значению, то есть $119^\circ$. Таким образом, сумма всех углов не может превышать $6 \cdot 119^\circ = 714^\circ$.

Это приводит к противоречию, так как сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника должна быть равна ровно $720^\circ$, а в нашем случае она не может быть больше $714^\circ$ ($714^\circ < 720^\circ$). Следовательно, наше первоначальное допущение неверно.

Ответ: нет, не может.

214. Сколько диагоналей можно провести в восьмиугольнике?

214. Сколько диагоналей можно провести в восьмиугольнике?

Чтобы найти количество диагоналей в многоугольнике, можно использовать логические рассуждения или общую формулу. Диагональ — это отрезок, соединяющий две любые не соседние вершины.

У восьмиугольника 8 вершин. Рассмотрим одну из них. Из этой вершины можно провести отрезки ко всем остальным $8 - 1 = 7$ вершинам.

Два из этих отрезков соединяют нашу вершину с двумя соседними, то есть являются сторонами восьмиугольника. Остальные отрезки будут диагоналями. Таким образом, из одной вершины можно провести $8 - 3 = 5$ диагоналей.

Поскольку в восьмиугольнике 8 вершин, и из каждой можно провести по 5 диагоналей, общее число таких отрезков составит $8 \times 5 = 40$.

При таком подсчете каждая диагональ учитывается дважды (например, диагональ из вершины A в вершину C и из C в A — это одна и та же диагональ). Поэтому полученное число необходимо разделить на 2.

Это рассуждение приводит нас к общей формуле для нахождения числа диагоналей $D$ в $n$-угольнике:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Подставим в нее количество вершин нашего восьмиугольника ($n=8$):

$D = \frac{8 \cdot (8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Ответ: 20

215. В выпуклом многоугольнике сумма углов равна $2340^{\circ}$. Найдите количество его сторон и диагоналей.

215. В выпуклом многоугольнике сумма углов равна $2340^\circ$. Найдите количество его сторон и диагоналей.

Для решения задачи мы будем использовать две основные формулы геометрии для выпуклых многоугольников: формулу для суммы внутренних углов и формулу для количества диагоналей.

Нахождение количества сторон

Сумма внутренних углов $S_n$ выпуклого многоугольника с $n$ сторонами вычисляется по формуле:
$S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$
По условию задачи, сумма углов равна $2340^\circ$. Подставим это значение в формулу и найдем количество сторон $n$:
$2340 = (n - 2) \cdot 180$
Чтобы найти $n$, сначала разделим обе части уравнения на 180:
$n - 2 = \frac{2340}{180}$
$n - 2 = 13$
Теперь найдем $n$:
$n = 13 + 2$
$n = 15$
Таким образом, в многоугольнике 15 сторон.

Нахождение количества диагоналей

Количество диагоналей $d$ в многоугольнике с $n$ сторонами можно найти по формуле:
$d = \frac{n(n - 3)}{2}$
Мы уже выяснили, что количество сторон $n = 15$. Подставим это значение в формулу для нахождения количества диагоналей:
$d = \frac{15 \cdot (15 - 3)}{2}$
$d = \frac{15 \cdot 12}{2}$
$d = 15 \cdot 6$
$d = 90$
Следовательно, в данном многоугольнике 90 диагоналей.

Ответ: у многоугольника 15 сторон и 90 диагоналей.

216. В выпуклом многоугольнике 14 диагоналей. Найдите количество его сторон и сумму углов.

216. В выпуклом многоугольнике 14 диагоналей. Найдите количество его сторон и сумму углов.

Задача состоит из двух частей: найти количество сторон многоугольника и найти сумму его углов.

количество его сторон

Пусть $n$ — количество сторон выпуклого многоугольника. Число диагоналей $D$ в таком многоугольнике определяется по формуле: $D = \frac{n(n-3)}{2}$

Согласно условию задачи, количество диагоналей равно 14, то есть $D = 14$. Подставим это значение в формулу и решим получившееся уравнение относительно $n$: $14 = \frac{n(n-3)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2: $28 = n(n-3)$

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$: $28 = n^2 - 3n$ $n^2 - 3n - 28 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: произведение корней равно -28, а их сумма равна 3. Легко подобрать корни: $n_1 = 7$ и $n_2 = -4$. Также можно использовать формулу дискриминанта: $D_{disc} = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$ $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D_{disc}}}{2a} = \frac{3 \pm 11}{2}$ $n_1 = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7$ $n_2 = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Поскольку количество сторон многоугольника $n$ должно быть целым положительным числом (и $n \geq 3$), корень $n = -4$ не имеет физического смысла. Следовательно, единственный подходящий корень — это $n = 7$. Таким образом, у многоугольника 7 сторон.

Ответ: 7 сторон.

сумму углов

Сумма внутренних углов $S$ выпуклого $n$-угольника находится по формуле: $S = (n-2) \cdot 180^{\circ}$

Из предыдущего пункта мы знаем, что количество сторон многоугольника $n = 7$. Подставим это значение в формулу для нахождения суммы углов: $S = (7-2) \cdot 180^{\circ}$ $S = 5 \cdot 180^{\circ}$ $S = 900^{\circ}$

Таким образом, сумма углов данного многоугольника равна $900^{\circ}$.

Ответ: $900^{\circ}$.

217. Все стороны шестиугольника, вписанного в окружность, равны. Найдите его углы.

217. Все стороны шестиугольника, вписанного в окружность, равны. Найдите его углы.

Поскольку шестиугольник вписан в окружность и все его стороны равны, он является правильным шестиугольником. У правильного многоугольника равны не только все стороны, но и все внутренние углы. Найдем величину этих углов.

Пусть $O$ — центр окружности, в которую вписан шестиугольник $ABCDEF$. Если соединить центр $O$ с вершинами шестиугольника, то шестиугольник разобьется на шесть треугольников: $\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCD, \triangle ODE, \triangle OEF, \triangle OFA$.

Стороны $OA, OB, \dots, OF$ этих треугольников равны между собой как радиусы одной окружности. Стороны $AB, BC, \dots, FA$ равны по условию задачи. Следовательно, все шесть треугольников равны друг другу по трем сторонам (по признаку SSS).

Из равенства треугольников следует равенство их углов. В частности, равны центральные углы, опирающиеся на стороны шестиугольника: $\angle AOB = \angle BOC = \dots = \angle FOA$. Сумма этих шести углов составляет полный оборот, то есть $360^\circ$. Значит, каждый центральный угол равен:

$\angle AOB = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$

Рассмотрим любой из этих треугольников, например $\triangle OAB$. Он равнобедренный, так как $OA = OB$. Углы при его основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то:

$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$

$2\angle OAB + 60^\circ = 180^\circ$

$2\angle OAB = 120^\circ$

$\angle OAB = 60^\circ$

Таким образом, все углы в треугольнике $\triangle OAB$ равны $60^\circ$, то есть он является равносторонним.

Каждый внутренний угол шестиугольника, например $\angle ABC$, складывается из двух углов при основаниях смежных треугольников, в данном случае $\angle OBA$ и $\angle OBC$. Так как все треугольники равносторонние, то $\angle OBA = 60^\circ$ и $\angle OBC = 60^\circ$.

Величина внутреннего угла шестиугольника равна:

$\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$

Поскольку шестиугольник правильный, все его углы равны.

Этот же результат можно получить, используя формулу для нахождения угла правильного $n$-угольника: $\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$. Для $n=6$ получаем $\alpha = \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Ответ: все углы шестиугольника равны $120^\circ$.

218. Все углы семиугольника, описанного около окружности, равны, а его периметр равен 56 см. Найдите стороны семиугольника.

218. Все углы семиугольника, описанного около окружности, равны, а его периметр равен 56 см. Найдите стороны семиугольника.

По условию задачи дан семиугольник ($n=7$), который описан около окружности. Это означает, что все его стороны являются касательными к этой окружности.

Также дано, что все углы этого семиугольника равны.

Существует теорема в геометрии, которая гласит: если у многоугольника, описанного около окружности, все углы равны, то и все его стороны равны. Такой многоугольник является правильным.

Следовательно, данный семиугольник — правильный, и все его 7 сторон имеют одинаковую длину. Обозначим длину стороны буквой $a$.

Периметр ($P$) многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Для правильного семиугольника с 7 сторонами формула периметра:

$P = 7 \cdot a$

Из условия задачи известно, что периметр равен 56 см:

$P = 56$ см

Приравняем выражение для периметра к его известному значению и найдем длину стороны $a$:

$7a = 56$

$a = \frac{56}{7}$

$a = 8$ см

Таким образом, длина каждой стороны семиугольника составляет 8 см.

Ответ: все стороны семиугольника равны 8 см.

219. Серединные перпендикуляры пяти сторон шестиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что около этого шестиугольника можно описать окружность.

219. Серединные перпендикуляры пяти сторон шестиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что около этого шестиугольника можно описать окружность.

Пусть дан шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$. По условию задачи, серединные перпендикуляры к пяти его сторонам пересекаются в одной точке. Без ограничения общности, предположим, что это серединные перпендикуляры к сторонам $A_1A_2$, $A_2A_3$, $A_3A_4$, $A_4A_5$ и $A_5A_6$. Обозначим точку их пересечения буквой $O$.

Основное свойство серединного перпендикуляра к отрезку заключается в том, что любая его точка равноудалена от концов этого отрезка.

Применим это свойство к точке $O$ и каждой из пяти сторон, серединные перпендикуляры к которым проходят через эту точку:
1. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_1A_2$, то $OA_1 = OA_2$.
2. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_2A_3$, то $OA_2 = OA_3$.
3. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_3A_4$, то $OA_3 = OA_4$.
4. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_4A_5$, то $OA_4 = OA_5$.
5. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_5A_6$, то $OA_5 = OA_6$.

Объединив последовательно эти равенства, мы получим одну общую цепочку равенств:$OA_1 = OA_2 = OA_3 = OA_4 = OA_5 = OA_6$.

Это означает, что все шесть вершин шестиугольника ($A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$) находятся на одинаковом расстоянии от точки $O$.

Многоугольник можно вписать в окружность (или, что то же самое, описать окружность около многоугольника) тогда и только тогда, когда существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Эта точка и будет центром описанной окружности. В нашем случае такая точка есть — это точка $O$.

Следовательно, около данного шестиугольника можно описать окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным расстоянию от $O$ до любой из вершин. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Поскольку точка пересечения серединных перпендикуляров к пяти сторонам шестиугольника равноудалена от всех шести вершин этого шестиугольника, она является центром окружности, описанной около него.

220. Биссектрисы шести углов семиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что в этот семиугольник можно вписать окружность.

220. Биссектрисы шести углов семиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что в этот семиугольник можно вписать окружность.

Пусть дан семиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7$. По условию, биссектрисы шести его углов (например, при вершинах $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ и $A_6$) пересекаются в одной точке $O$.

Для того чтобы в многоугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы биссектрисы всех его внутренних углов пересекались в одной точке. Эта точка будет являться центром вписанной окружности. Таким образом, задача сводится к доказательству того, что биссектриса седьмого угла, $\angle A_7$, также проходит через точку $O$.

Воспользуемся основным свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон. Обозначим расстояние от точки $P$ до прямой $L$ как $d(P, L)$.

1. Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A_1$, она равноудалена от сторон $A_7A_1$ и $A_1A_2$. Следовательно, $d(O, A_7A_1) = d(O, A_1A_2)$.

2. Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A_2$, она равноудалена от сторон $A_1A_2$ и $A_2A_3$. Следовательно, $d(O, A_1A_2) = d(O, A_2A_3)$.

3. Продолжая эту логику для остальных четырех углов, биссектрисы которых проходят через точку $O$, получаем следующую цепочку равенств:
$d(O, A_7A_1) = d(O, A_1A_2) = d(O, A_2A_3) = d(O, A_3A_4) = d(O, A_4A_5) = d(O, A_5A_6) = d(O, A_6A_7)$.

Из этой цепочки равенств следует, что расстояние от точки $O$ до всех семи сторон семиугольника одинаково. В частности, нас интересует равенство расстояний до сторон, образующих седьмой угол, $\angle A_7$:
$d(O, A_6A_7) = d(O, A_7A_1)$.

Поскольку точка $O$ равноудалена от сторон $A_6A_7$ и $A_7A_1$, согласно свойству, обратному свойству биссектрисы, точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A_7$.

Таким образом, мы доказали, что все семь биссектрис углов семиугольника пересекаются в одной точке $O$. Это означает, что существует точка, равноудаленная от всех сторон семиугольника, и она является центром окружности, касающейся всех его сторон, то есть вписанной окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Так как точка пересечения шести биссектрис равноудалена от всех семи сторон семиугольника, она также лежит и на седьмой биссектрисе. Следовательно, все семь биссектрис пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности, а значит в данный семиугольник можно вписать окружность.

221. Диагональ прямоугольника равна $12\sqrt{3}$ см и образует со стороной угол $60^\circ$. Найдите площадь прямоугольника.

221. Диагональ прямоугольника равна $12\sqrt{3}$ см и образует со стороной угол $60^\circ$. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Диагональ $d$ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Стороны прямоугольника $a$ и $b$ являются катетами этих треугольников, а диагональ $d$ — их общей гипотенузой.

По условию, длина диагонали $d = 12\sqrt{3}$ см, а угол, который она образует с одной из сторон, равен $60^\circ$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Мы можем найти длины сторон прямоугольника, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

Сторона, прилежащая к углу $\alpha = 60^\circ$, равна:
$a = d \cdot \cos(\alpha) = 12\sqrt{3} \cdot \cos(60^\circ)$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, вычисляем сторону $a$:
$a = 12\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Сторона, противолежащая углу $\alpha = 60^\circ$, равна:
$b = d \cdot \sin(\alpha) = 12\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ)$

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, вычисляем сторону $b$:
$b = 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его сторон: $S = a \cdot b$.
$S = 6\sqrt{3} \cdot 18 = 108\sqrt{3}$ см².

Ответ: $108\sqrt{3}$ см².

222. Площадь прямоугольника равна 54 ${cm^2}$. Найдите его стороны, если они относятся как $2 : 3$.

222. Площадь прямоугольника равна $54 \text{ см}^2$. Найдите его стороны, если они относятся как 2 : 3.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию задачи, $S = 54$ см².

Известно, что стороны относятся как $2:3$. Это означает, что мы можем выразить длины сторон через общий множитель $x$:

$a = 2x$

$b = 3x$

Теперь подставим эти выражения в формулу площади:

$S = (2x) \cdot (3x) = 54$

$6x^2 = 54$

Решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$x^2 = \frac{54}{6}$

$x^2 = 9$

$x = \sqrt{9} = 3$ (Так как длина стороны может быть только положительным числом, мы берем положительный корень).

Теперь, зная коэффициент $x$, мы можем найти длины сторон прямоугольника:

Первая сторона: $a = 2x = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Вторая сторона: $b = 3x = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 9 см.

223. Площадь прямоугольника равна $48 \text{ см}^2$. Найдите его стороны, если их сумма равна $14 \text{ см}$.

223. Площадь прямоугольника равна $48 \text{ см}^2$. Найдите его стороны, если их сумма равна $14 \text{ см}$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

По условию задачи, площадь прямоугольника равна 48 см², а сумма его сторон равна 14 см. Мы можем составить систему из двух уравнений:
1. Площадь: $a \cdot b = 48$
2. Сумма сторон: $a + b = 14$

Выразим одну переменную через другую из второго уравнения:
$a = 14 - b$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
$(14 - b) \cdot b = 48$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$14b - b^2 = 48$
$b^2 - 14b + 48 = 0$

Найдем дискриминант $D$:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4$

Найдем корни уравнения (значения стороны $b$):
$b_1 = \frac{14 + \sqrt{4}}{2} = \frac{14 + 2}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$b_2 = \frac{14 - \sqrt{4}}{2} = \frac{14 - 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Теперь найдем соответствующие значения для стороны $a$:
Если $b_1 = 8$ см, то $a_1 = 14 - 8 = 6$ см.
Если $b_2 = 6$ см, то $a_2 = 14 - 6 = 8$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см. Проверим: площадь $6 \cdot 8 = 48$ см², сумма сторон $6 + 8 = 14$ см. Условия задачи выполнены.

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

224. Квадрат и прямоугольник равновелики. Сторона квадрата равна 12 см, а стороны прямоугольника относятся как 4 : 9. Найдите стороны прямоугольника.

224. Квадрат и прямоугольник равновелики. Сторона квадрата равна 12 см, а стороны прямоугольника относятся как 4 : 9. Найдите стороны прямоугольника.

По условию задачи, квадрат и прямоугольник равновелики. Это означает, что их площади равны. Обозначим сторону квадрата как $a_{кв}$, а стороны прямоугольника как $a_{пр}$ и $b_{пр}$.

1. Сначала вычислим площадь квадрата. Сторона квадрата $a_{кв} = 12$ см. Площадь квадрата ($S_{кв}$) находится по формуле:

$S_{кв} = a_{кв}^2 = 12^2 = 144$ см².

2. Так как фигуры равновелики, площадь прямоугольника ($S_{пр}$) равна площади квадрата:

$S_{пр} = S_{кв} = 144$ см².

3. Стороны прямоугольника относятся как $4:9$. Мы можем выразить их через неизвестный коэффициент пропорциональности $x$:

Одна сторона $a_{пр} = 4x$.

Другая сторона $b_{пр} = 9x$.

4. Площадь прямоугольника также вычисляется как произведение его сторон: $S_{пр} = a_{пр} \cdot b_{пр}$. Подставим выражения для сторон и известное значение площади, чтобы составить уравнение:

$(4x) \cdot (9x) = 144$

$36x^2 = 144$

5. Решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:

$x^2 = \frac{144}{36}$

$x^2 = 4$

$x = \sqrt{4} = 2$

Мы берем только положительное значение корня, так как длина стороны не может быть отрицательной.

6. Теперь найдем длины сторон прямоугольника, подставив значение $x=2$:

Первая сторона: $a_{пр} = 4x = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Вторая сторона: $b_{пр} = 9x = 9 \cdot 2 = 18$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 8 см и 18 см.

225. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата, площадь которого равна $60 \text{ см}^2$.

225. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата, площадь которого равна $60 \text{ см}^2$.

Пусть $S$ — площадь квадрата, $a$ — его сторона, $d$ — его диагональ, а $R$ — радиус описанной окружности.

По условию задачи, площадь квадрата равна $S = 60$ см².

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$. Отсюда мы можем найти длину стороны квадрата: $a^2 = 60$ $a = \sqrt{60}$ см.

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали. Формула для диагонали квадрата через его сторону: $d = a\sqrt{2}$.

Найдем диагональ квадрата: $d = \sqrt{60} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{120}$ см.

Радиус описанной окружности $R$ равен половине диагонали: $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{120}}{2}$ см.

Упростим полученное выражение. Для этого разложим число под корнем на множители: $R = \frac{\sqrt{4 \cdot 30}}{2} = \frac{\sqrt{4} \cdot \sqrt{30}}{2} = \frac{2\sqrt{30}}{2} = \sqrt{30}$ см.

Ответ: $\sqrt{30}$ см.

226. Как изменится площадь квадрата, если его сторону:

1) увеличить в 5 раз;

2) уменьшить в $n$ раз?

226. Как изменится площадь квадрата, если его сторону:

1) увеличить в 5 раз;

2) уменьшить в $n$ раз?

1) увеличить в 5 раз;

Пусть первоначальная сторона квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S_1$ вычисляется по формуле $S_1 = a^2$.

Если сторону квадрата увеличить в 5 раз, то новая сторона $a_2$ станет равной $5a$.

Новая площадь $S_2$ будет равна:

$S_2 = (a_2)^2 = (5a)^2 = 25a^2$.

Чтобы определить, как изменилась площадь, найдем отношение новой площади к первоначальной:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{25a^2}{a^2} = 25$.

Следовательно, площадь квадрата увеличится в 25 раз.

Ответ: площадь увеличится в 25 раз.

2) уменьшить в n раз?

Пусть первоначальная сторона квадрата равна $a$, а его площадь $S_1 = a^2$.

Если сторону квадрата уменьшить в $n$ раз, то новая сторона $a_2$ станет равной $\frac{a}{n}$.

Новая площадь $S_2$ будет равна:

$S_2 = (a_2)^2 = (\frac{a}{n})^2 = \frac{a^2}{n^2}$.

Чтобы определить, во сколько раз изменилась площадь, найдем отношение первоначальной площади к новой:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{a^2}{\frac{a^2}{n^2}} = a^2 \cdot \frac{n^2}{a^2} = n^2$.

Следовательно, площадь квадрата уменьшится в $n^2$ раз.

Ответ: площадь уменьшится в $n^2$ раз.