Номер 220, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

220. Биссектрисы шести углов семиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что в этот семиугольник можно вписать окружность.

220. Биссектрисы шести углов семиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что в этот семиугольник можно вписать окружность.

Пусть дан семиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7$. По условию, биссектрисы шести его углов (например, при вершинах $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ и $A_6$) пересекаются в одной точке $O$.

Для того чтобы в многоугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы биссектрисы всех его внутренних углов пересекались в одной точке. Эта точка будет являться центром вписанной окружности. Таким образом, задача сводится к доказательству того, что биссектриса седьмого угла, $\angle A_7$, также проходит через точку $O$.

Воспользуемся основным свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон. Обозначим расстояние от точки $P$ до прямой $L$ как $d(P, L)$.

1. Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A_1$, она равноудалена от сторон $A_7A_1$ и $A_1A_2$. Следовательно, $d(O, A_7A_1) = d(O, A_1A_2)$.

2. Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A_2$, она равноудалена от сторон $A_1A_2$ и $A_2A_3$. Следовательно, $d(O, A_1A_2) = d(O, A_2A_3)$.

3. Продолжая эту логику для остальных четырех углов, биссектрисы которых проходят через точку $O$, получаем следующую цепочку равенств:
$d(O, A_7A_1) = d(O, A_1A_2) = d(O, A_2A_3) = d(O, A_3A_4) = d(O, A_4A_5) = d(O, A_5A_6) = d(O, A_6A_7)$.

Из этой цепочки равенств следует, что расстояние от точки $O$ до всех семи сторон семиугольника одинаково. В частности, нас интересует равенство расстояний до сторон, образующих седьмой угол, $\angle A_7$:
$d(O, A_6A_7) = d(O, A_7A_1)$.

Поскольку точка $O$ равноудалена от сторон $A_6A_7$ и $A_7A_1$, согласно свойству, обратному свойству биссектрисы, точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A_7$.

Таким образом, мы доказали, что все семь биссектрис углов семиугольника пересекаются в одной точке $O$. Это означает, что существует точка, равноудаленная от всех сторон семиугольника, и она является центром окружности, касающейся всех его сторон, то есть вписанной окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Так как точка пересечения шести биссектрис равноудалена от всех семи сторон семиугольника, она также лежит и на седьмой биссектрисе. Следовательно, все семь биссектрис пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности, а значит в данный семиугольник можно вписать окружность.