Номер 219, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

219. Серединные перпендикуляры пяти сторон шестиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что около этого шестиугольника можно описать окружность.

219. Серединные перпендикуляры пяти сторон шестиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что около этого шестиугольника можно описать окружность.

Пусть дан шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$. По условию задачи, серединные перпендикуляры к пяти его сторонам пересекаются в одной точке. Без ограничения общности, предположим, что это серединные перпендикуляры к сторонам $A_1A_2$, $A_2A_3$, $A_3A_4$, $A_4A_5$ и $A_5A_6$. Обозначим точку их пересечения буквой $O$.

Основное свойство серединного перпендикуляра к отрезку заключается в том, что любая его точка равноудалена от концов этого отрезка.

Применим это свойство к точке $O$ и каждой из пяти сторон, серединные перпендикуляры к которым проходят через эту точку:
1. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_1A_2$, то $OA_1 = OA_2$.
2. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_2A_3$, то $OA_2 = OA_3$.
3. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_3A_4$, то $OA_3 = OA_4$.
4. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_4A_5$, то $OA_4 = OA_5$.
5. Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_5A_6$, то $OA_5 = OA_6$.

Объединив последовательно эти равенства, мы получим одну общую цепочку равенств:$OA_1 = OA_2 = OA_3 = OA_4 = OA_5 = OA_6$.

Это означает, что все шесть вершин шестиугольника ($A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$) находятся на одинаковом расстоянии от точки $O$.

Многоугольник можно вписать в окружность (или, что то же самое, описать окружность около многоугольника) тогда и только тогда, когда существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Эта точка и будет центром описанной окружности. В нашем случае такая точка есть — это точка $O$.

Следовательно, около данного шестиугольника можно описать окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным расстоянию от $O$ до любой из вершин. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Поскольку точка пересечения серединных перпендикуляров к пяти сторонам шестиугольника равноудалена от всех шести вершин этого шестиугольника, она является центром окружности, описанной около него.