Номер 216, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

216. В выпуклом многоугольнике 14 диагоналей. Найдите количество его сторон и сумму углов.

216. В выпуклом многоугольнике 14 диагоналей. Найдите количество его сторон и сумму углов.

Задача состоит из двух частей: найти количество сторон многоугольника и найти сумму его углов.

количество его сторон

Пусть $n$ — количество сторон выпуклого многоугольника. Число диагоналей $D$ в таком многоугольнике определяется по формуле: $D = \frac{n(n-3)}{2}$

Согласно условию задачи, количество диагоналей равно 14, то есть $D = 14$. Подставим это значение в формулу и решим получившееся уравнение относительно $n$: $14 = \frac{n(n-3)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2: $28 = n(n-3)$

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$: $28 = n^2 - 3n$ $n^2 - 3n - 28 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: произведение корней равно -28, а их сумма равна 3. Легко подобрать корни: $n_1 = 7$ и $n_2 = -4$. Также можно использовать формулу дискриминанта: $D_{disc} = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$ $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D_{disc}}}{2a} = \frac{3 \pm 11}{2}$ $n_1 = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7$ $n_2 = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Поскольку количество сторон многоугольника $n$ должно быть целым положительным числом (и $n \geq 3$), корень $n = -4$ не имеет физического смысла. Следовательно, единственный подходящий корень — это $n = 7$. Таким образом, у многоугольника 7 сторон.

Ответ: 7 сторон.

сумму углов

Сумма внутренних углов $S$ выпуклого $n$-угольника находится по формуле: $S = (n-2) \cdot 180^{\circ}$

Из предыдущего пункта мы знаем, что количество сторон многоугольника $n = 7$. Подставим это значение в формулу для нахождения суммы углов: $S = (7-2) \cdot 180^{\circ}$ $S = 5 \cdot 180^{\circ}$ $S = 900^{\circ}$

Таким образом, сумма углов данного многоугольника равна $900^{\circ}$.

Ответ: $900^{\circ}$.