Номер 210, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

210. В трапеции $ABCD$ (рис. 76) $BC = 4$ см, $CD = 6$ см, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle D = 135^{\circ}$. Найдите основание $AD$ трапеции.

Рис. 76

210. В трапеции ABCD (рис. 76) $BC = 4 \text{ см}$, $CD = 6 \text{ см}$, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle D = 135^{\circ}$. Найдите основание AD трапеции.

Рис. 76

Для нахождения основания AD трапеции ABCD воспользуемся методом дополнительного построения.

1. Построение

Проведем через вершину B прямую, параллельную боковой стороне CD. Пусть эта прямая пересекает прямую, содержащую основание AD, в точке E.В результате построения мы получаем параллелограмм BCDE (так как $BC \parallel ED$ и $BE \parallel CD$) и треугольник ABE.

2. Свойства параллелограмма

Из свойств параллелограмма BCDE следуют равенства сторон:

• $ED = BC = 4$ см
• $BE = CD = 6$ см

3. Анализ треугольника ABE

Рассмотрим треугольник ABE. Сумма двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, не всегда равна $180^{\circ}$. Однако, сумма углов в треугольнике всегда равна $180^{\circ}$. Если бы точка E лежала между A и D, то в $\triangle ABE$ угол при вершине A был бы равен $60^{\circ}$, а угол при вершине E был бы равен $\angle CDA = 135^{\circ}$ (как соответственные углы при $BE \parallel CD$ и секущей AD). Сумма этих двух углов $60^{\circ} + 135^{\circ} = 195^{\circ}$, что больше $180^{\circ}$. Это невозможно для треугольника.

Следовательно, точка E лежит на продолжении основания AD за точку A. Порядок точек на прямой следующий: E-A-D.

Найдем углы в треугольнике ABE:

• Угол $\angle BAE$ является смежным с углом $\angle A$ трапеции, поэтому $\angle BAE = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
• Угол $\angle AEB$. Так как $BE \parallel CD$, то угол $\angle AEB$ и угол, смежный с $\angle D$ трапеции, равны как соответственные углы при секущей ED. Угол, смежный с $\angle D$, равен $180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$. Следовательно, $\angle AEB = 45^{\circ}$.
• Третий угол треугольника $\angle ABE = 180^{\circ} - (\angle BAE + \angle AEB) = 180^{\circ} - (120^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 165^{\circ} = 15^{\circ}$.

4. Применение теоремы синусов

Теперь, зная все углы и одну сторону ($BE = 6$ см) в треугольнике ABE, мы можем найти длину стороны AE по теореме синусов:

$\frac{AE}{\sin(\angle ABE)} = \frac{BE}{\sin(\angle BAE)}$

$\frac{AE}{\sin(15^{\circ})} = \frac{6}{\sin(120^{\circ})}$

Выразим AE:

$AE = \frac{6 \cdot \sin(15^{\circ})}{\sin(120^{\circ})}$

Нам понадобятся значения синусов:

$\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(15^{\circ}) = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ}) - \cos(45^{\circ})\sin(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Подставим значения в формулу для AE:

$AE = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$ для избавления от иррациональности в знаменателе:

$AE = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{2})\sqrt{3}}{3} = (\sqrt{6} - \sqrt{2})\sqrt{3} = \sqrt{18} - \sqrt{6} = 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$ см.

5. Нахождение основания AD

Так как точки на прямой расположены в порядке E-A-D, то длина основания AD равна разности длин отрезков ED и AE:

$AD = ED - AE = 4 - (3\sqrt{2} - \sqrt{6}) = 4 - 3\sqrt{2} + \sqrt{6}$ см.

Ответ: $AD = (4 - 3\sqrt{2} + \sqrt{6})$ см.