Номер 209, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. В прямоугольном треугольнике ABC (рис. 75) $\angle C=90^\circ$, $BK=m$, $\angle CBK=\alpha$, $\angle ABK=\beta$. Найдите отрезок $AK$.

Рис. 75

209. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (рис. 75) $\angle C = 90^\circ$, $BK = m$, $\angle CBK = \alpha$, $\angle ABK = \beta$. Найдите отрезок $AK$.

Рис. 75

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCK с прямым углом C. По определению тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике, мы можем выразить катеты BC и KC через гипотенузу BK = m и угол ∠CBK = α.

Катет BC, прилежащий к углу α, равен:

$BC = BK \cdot \cos(\angle CBK) = m \cos(\alpha)$

Катет KC, противолежащий углу α, равен:

$KC = BK \cdot \sin(\angle CBK) = m \sin(\alpha)$

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором угол C также равен 90°. Угол ∠ABC является суммой двух углов:

$\angle ABC = \angle ABK + \angle CBK = \beta + \alpha$

В треугольнике ABC мы можем выразить катет AC через катет BC и тангенс угла ∠ABC:

$\tan(\angle ABC) = \frac{AC}{BC}$

Отсюда получаем:

$AC = BC \cdot \tan(\angle ABC) = m \cos(\alpha) \cdot \tan(\alpha + \beta)$

Искомый отрезок AK можно найти как разность длин отрезков AC и KC:

$AK = AC - KC$

Подставим найденные выражения для AC и KC:

$AK = m \cos(\alpha) \tan(\alpha + \beta) - m \sin(\alpha)$

Вынесем общий множитель m за скобки и преобразуем выражение, используя тождество $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$:

$AK = m \left( \cos(\alpha) \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} - \sin(\alpha) \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$AK = m \left( \frac{\cos(\alpha) \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha) \cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} \right)$

Числитель в скобках является формулой синуса разности двух углов: $\sin(x-y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$. В нашем случае $x = \alpha + \beta$ и $y = \alpha$.

$\sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha) - \cos(\alpha + \beta) \sin(\alpha) = \sin((\alpha + \beta) - \alpha) = \sin(\beta)$

Таким образом, окончательное выражение для AK имеет вид:

$AK = m \frac{\sin(\beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$

Ответ: $AK = \frac{m \sin(\beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$