Номер 205, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Диагональ $BD$ прямоугольника $ABCD$ равна $d$ и образует со стороной $CD$ угол $\beta$. Найдите стороны прямоугольника.

205. Диагональ $BD$ прямоугольника $ABCD$ равна $d$ и образует со стороной $CD$ угол $\beta$. Найдите стороны прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Нам даны диагональ $BD = d$ и угол $\beta$, который эта диагональ образует со стороной $CD$, то есть $\angle BDC = \beta$.

Диагональ $BD$ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCD$, в котором:

• $\angle C = 90^{\circ}$ (так как $ABCD$ — прямоугольник);
• $BD$ — гипотенуза, её длина равна $d$;
• $BC$ и $CD$ — катеты, которые являются сторонами прямоугольника.

Для нахождения сторон прямоугольника (катетов $BC$ и $CD$) используем тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

1. Найдём сторону $BC$.
Катет $BC$ является противолежащим к углу $\beta$. Отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла.
$\sin(\angle BDC) = \frac{BC}{BD}$
$\sin(\beta) = \frac{BC}{d}$
Отсюда выражаем $BC$:
$BC = d \cdot \sin(\beta)$

2. Найдём сторону $CD$.
Катет $CD$ является прилежащим к углу $\beta$. Отношение прилежащего катета к гипотенузе равно косинусу угла.
$\cos(\angle BDC) = \frac{CD}{BD}$
$\cos(\beta) = \frac{CD}{d}$
Отсюда выражаем $CD$:
$CD = d \cdot \cos(\beta)$

Так как в прямоугольнике противолежащие стороны равны, то $AB = CD = d \cdot \cos(\beta)$ и $AD = BC = d \cdot \sin(\beta)$.

Ответ: стороны прямоугольника равны $d \cdot \sin(\beta)$ и $d \cdot \cos(\beta)$.