Номер 204, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

204. Из точки, находящейся на расстоянии 10 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с прямой углы $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько решений имеет задача?

204. Из точки, находящейся на расстоянии 10 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с прямой углы $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько решений имеет задача?

Пусть A — точка, из которой проведены наклонные, а l — прямая. Расстояние от точки A до прямой l — это длина перпендикуляра AH, опущенного из точки A на прямую l. По условию, AH = 10 см.

Пусть AB и AC — две наклонные, проведенные из точки A к прямой l. Точки B и C — основания наклонных. Углы, которые наклонные образуют с прямой, это ∠ABH и ∠ACH. Пусть ∠ABH = 30° и ∠ACH = 60°.

Мы имеем два прямоугольных треугольника: ▵AHB и ▵AHC (с прямым углом при вершине H). Расстояние между основаниями наклонных — это длина отрезка BC. Для его нахождения сначала вычислим длины проекций наклонных на прямую l — катетов BH и CH.

В прямоугольном треугольнике ▵AHB катет BH, прилежащий к углу 30°, можно найти через тангенс:
$\tan(\angle ABH) = \frac{AH}{BH} \implies BH = \frac{AH}{\tan(30^\circ)} = \frac{10}{1/\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике ▵AHC катет CH, прилежащий к углу 60°, можно найти аналогично:
$\tan(\angle ACH) = \frac{AH}{CH} \implies CH = \frac{AH}{\tan(60^\circ)} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Задача имеет два решения, так как основания наклонных (точки B и C) могут располагаться на прямой l как по разные стороны от основания перпендикуляра H, так и по одну сторону.

В этом случае точка H лежит между точками B и C. Расстояние между основаниями наклонных равно сумме длин их проекций:
$BC = BH + CH = 10\sqrt{3} + \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{30\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{3} = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $\frac{40\sqrt{3}}{3}$ см.

В этом случае расстояние между основаниями наклонных равно модулю разности длин их проекций:
$BC = |BH - CH| = |10\sqrt{3} - \frac{10\sqrt{3}}{3}| = \frac{30\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $\frac{20\sqrt{3}}{3}$ см.

Поскольку существует два возможных расположения оснований наклонных, которые приводят к двум разным значениям искомого расстояния, задача имеет два решения.
Ответ: 2.