Номер 207, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

207. Используя данные рисунка 74, найдите отрезки AD и CD.

Рис. 74

а) B, A, C, D, $a$, $\alpha$, $\gamma$, углы B и A прямые ($90^\circ$).

б) D, B, A, C, $a$, $\beta$, $\alpha$, углы B и A прямые ($90^\circ$).

207. Используя данные рисунка 74, найдите отрезки AD и CD.

Рис. 74

а

B

$a$

$\alpha$

C

A

$\gamma$

D

б

D

$\beta$

A

B

$a$

$\alpha$

C

а)

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $B = 90^\circ$):

Известен катет $BC = a$ и прилежащий к нему угол $\angle BCA = \alpha$.

Найдем гипотенузу $AC$, которая является общей стороной для обоих треугольников. По определению косинуса:

$\cos(\alpha) = \frac{BC}{AC}$

Отсюда выражаем $AC$:

$AC = \frac{BC}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

2. В прямоугольном треугольнике $ADC$ (угол $A = 90^\circ$):

Нам известен катет $AC = \frac{a}{\cos(\alpha)}$ и противолежащий ему угол $\angle ADC = \gamma$.

Найдем катет $AD$. По определению тангенса:

$\tan(\gamma) = \frac{AC}{AD}$

Выражаем $AD$:

$AD = \frac{AC}{\tan(\gamma)} = \frac{\frac{a}{\cos(\alpha)}}{\tan(\gamma)} = \frac{a}{\cos(\alpha)\tan(\gamma)}$

Найдем гипотенузу $CD$. По определению синуса:

$\sin(\gamma) = \frac{AC}{CD}$

Выражаем $CD$:

$CD = \frac{AC}{\sin(\gamma)} = \frac{\frac{a}{\cos(\alpha)}}{\sin(\gamma)} = \frac{a}{\cos(\alpha)\sin(\gamma)}$

Ответ: $AD = \frac{a}{\cos(\alpha)\tan(\gamma)}$, $CD = \frac{a}{\cos(\alpha)\sin(\gamma)}$.

б)

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $B = 90^\circ$):

Известен катет $BC = a$ и прилежащий к нему угол $\angle BCA = \alpha$.

Найдем гипотенузу $AC$, которая является катетом во втором треугольнике. По определению косинуса:

$\cos(\alpha) = \frac{BC}{AC}$

Отсюда выражаем $AC$:

$AC = \frac{BC}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

2. В прямоугольном треугольнике $ADC$ (угол $A = 90^\circ$):

Нам известен катет $AC = \frac{a}{\cos(\alpha)}$ и противолежащий ему угол $\angle ADC = \beta$.

Найдем катет $AD$. По определению тангенса:

$\tan(\beta) = \frac{AC}{AD}$

Выражаем $AD$:

$AD = \frac{AC}{\tan(\beta)} = \frac{\frac{a}{\cos(\alpha)}}{\tan(\beta)} = \frac{a}{\cos(\alpha)\tan(\beta)}$

Найдем гипотенузу $CD$. По определению синуса:

$\sin(\beta) = \frac{AC}{CD}$

Выражаем $CD$:

$CD = \frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{\frac{a}{\cos(\alpha)}}{\sin(\beta)} = \frac{a}{\cos(\alpha)\sin(\beta)}$

Ответ: $AD = \frac{a}{\cos(\alpha)\tan(\beta)}$, $CD = \frac{a}{\cos(\alpha)\sin(\beta)}$.