Страница 61 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

206. Сторона ромба равна $a$, а один из углов равен $\alpha$. Найдите диагонали ромба.

206. Сторона ромба равна $a$, а один из углов равен $\alpha$. Найдите диагонали ромба.

Пусть дан ромб со стороной $a$ и одним из углов, равным $\alpha$. Обозначим его диагонали как $d_1$ и $d_2$.

Воспользуемся свойствами ромба:

1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($90^\circ$) и в точке пересечения делятся пополам.
2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Таким образом, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников.

Гипотенуза этого треугольника равна стороне ромба $a$. Катеты равны половинам диагоналей: $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. Поскольку диагонали являются биссектрисами, то углы этого треугольника, прилежащие к гипотенузе, равны $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Теперь, используя определения синуса и косинуса для острого угла $\frac{\alpha}{2}$ в этом прямоугольном треугольнике, найдем длины катетов:

Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Пусть катет, противолежащий углу $\frac{\alpha}{2}$, равен $\frac{d_1}{2}$:

$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{d_1/2}{a}$

Выразим отсюда диагональ $d_1$:

$d_1 = 2a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Катет, прилежащий к углу $\frac{\alpha}{2}$, равен $\frac{d_2}{2}$:

$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{d_2/2}{a}$

Выразим отсюда диагональ $d_2$:

$d_2 = 2a \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: Диагонали ромба равны $2a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ и $2a \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

207. Используя данные рисунка 74, найдите отрезки AD и CD.

Рис. 74

а) B, A, C, D, $a$, $\alpha$, $\gamma$, углы B и A прямые ($90^\circ$).

б) D, B, A, C, $a$, $\beta$, $\alpha$, углы B и A прямые ($90^\circ$).

207. Используя данные рисунка 74, найдите отрезки AD и CD.

Рис. 74

а

B

$a$

$\alpha$

C

A

$\gamma$

D

б

D

$\beta$

A

B

$a$

$\alpha$

C

а)

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $B = 90^\circ$):

Известен катет $BC = a$ и прилежащий к нему угол $\angle BCA = \alpha$.

Найдем гипотенузу $AC$, которая является общей стороной для обоих треугольников. По определению косинуса:

$\cos(\alpha) = \frac{BC}{AC}$

Отсюда выражаем $AC$:

$AC = \frac{BC}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

2. В прямоугольном треугольнике $ADC$ (угол $A = 90^\circ$):

Нам известен катет $AC = \frac{a}{\cos(\alpha)}$ и противолежащий ему угол $\angle ADC = \gamma$.

Найдем катет $AD$. По определению тангенса:

$\tan(\gamma) = \frac{AC}{AD}$

Выражаем $AD$:

$AD = \frac{AC}{\tan(\gamma)} = \frac{\frac{a}{\cos(\alpha)}}{\tan(\gamma)} = \frac{a}{\cos(\alpha)\tan(\gamma)}$

Найдем гипотенузу $CD$. По определению синуса:

$\sin(\gamma) = \frac{AC}{CD}$

Выражаем $CD$:

$CD = \frac{AC}{\sin(\gamma)} = \frac{\frac{a}{\cos(\alpha)}}{\sin(\gamma)} = \frac{a}{\cos(\alpha)\sin(\gamma)}$

Ответ: $AD = \frac{a}{\cos(\alpha)\tan(\gamma)}$, $CD = \frac{a}{\cos(\alpha)\sin(\gamma)}$.

б)

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $B = 90^\circ$):

Известен катет $BC = a$ и прилежащий к нему угол $\angle BCA = \alpha$.

Найдем гипотенузу $AC$, которая является катетом во втором треугольнике. По определению косинуса:

$\cos(\alpha) = \frac{BC}{AC}$

Отсюда выражаем $AC$:

$AC = \frac{BC}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

2. В прямоугольном треугольнике $ADC$ (угол $A = 90^\circ$):

Нам известен катет $AC = \frac{a}{\cos(\alpha)}$ и противолежащий ему угол $\angle ADC = \beta$.

Найдем катет $AD$. По определению тангенса:

$\tan(\beta) = \frac{AC}{AD}$

Выражаем $AD$:

$AD = \frac{AC}{\tan(\beta)} = \frac{\frac{a}{\cos(\alpha)}}{\tan(\beta)} = \frac{a}{\cos(\alpha)\tan(\beta)}$

Найдем гипотенузу $CD$. По определению синуса:

$\sin(\beta) = \frac{AC}{CD}$

Выражаем $CD$:

$CD = \frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{\frac{a}{\cos(\alpha)}}{\sin(\beta)} = \frac{a}{\cos(\alpha)\sin(\beta)}$

Ответ: $AD = \frac{a}{\cos(\alpha)\tan(\beta)}$, $CD = \frac{a}{\cos(\alpha)\sin(\beta)}$.

208. В равнобокой трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 18 см и 12 см, а боковая сторона образует с основанием $AD$ угол $30^\circ$. Найдите диагональ трапеции.

208. В равнобокой трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 18 см и 12 см, а боковая сторона образует с основанием $AD$ угол $30^\circ$. Найдите диагональ трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которой основания $AD=18$ см и $BC=12$ см, а угол при основании $\angle CDA = 30°$. Необходимо найти длину диагонали. В равнобокой трапеции диагонали равны ($AC = BD$), поэтому найдем длину диагонали $AC$.
Проведем из вершины $C$ высоту $CK$ на основание $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CKD$. Так как трапеция равнобокая, длину отрезка $DK$ можно вычислить как полуразность оснований:
$DK = \frac{AD - BC}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Теперь в прямоугольном треугольнике $CKD$ найдем высоту трапеции $CK$, которая является катетом. Используя тангенс угла $\angle CDK$, получаем:
$CK = DK \cdot \tan(\angle CDK) = 3 \cdot \tan(30°) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.
Для нахождения диагонали $AC$ рассмотрим другой прямоугольный треугольник — $ACK$. Его катетами являются высота $CK$ и отрезок $AK$. Длину отрезка $AK$ находим как разность $AD$ и $DK$:
$AK = AD - DK = 18 - 3 = 15$ см.
Применим теорему Пифагора к треугольнику $ACK$:
$AC^2 = AK^2 + CK^2$
$AC^2 = 15^2 + (\sqrt{3})^2 = 225 + 3 = 228$
$AC = \sqrt{228} = \sqrt{4 \cdot 57} = 2\sqrt{57}$ см.

Ответ: $2\sqrt{57}$ см.

209. В прямоугольном треугольнике ABC (рис. 75) $\angle C=90^\circ$, $BK=m$, $\angle CBK=\alpha$, $\angle ABK=\beta$. Найдите отрезок $AK$.

Рис. 75

209. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (рис. 75) $\angle C = 90^\circ$, $BK = m$, $\angle CBK = \alpha$, $\angle ABK = \beta$. Найдите отрезок $AK$.

Рис. 75

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCK с прямым углом C. По определению тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике, мы можем выразить катеты BC и KC через гипотенузу BK = m и угол ∠CBK = α.

Катет BC, прилежащий к углу α, равен:

$BC = BK \cdot \cos(\angle CBK) = m \cos(\alpha)$

Катет KC, противолежащий углу α, равен:

$KC = BK \cdot \sin(\angle CBK) = m \sin(\alpha)$

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором угол C также равен 90°. Угол ∠ABC является суммой двух углов:

$\angle ABC = \angle ABK + \angle CBK = \beta + \alpha$

В треугольнике ABC мы можем выразить катет AC через катет BC и тангенс угла ∠ABC:

$\tan(\angle ABC) = \frac{AC}{BC}$

Отсюда получаем:

$AC = BC \cdot \tan(\angle ABC) = m \cos(\alpha) \cdot \tan(\alpha + \beta)$

Искомый отрезок AK можно найти как разность длин отрезков AC и KC:

$AK = AC - KC$

Подставим найденные выражения для AC и KC:

$AK = m \cos(\alpha) \tan(\alpha + \beta) - m \sin(\alpha)$

Вынесем общий множитель m за скобки и преобразуем выражение, используя тождество $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$:

$AK = m \left( \cos(\alpha) \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} - \sin(\alpha) \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$AK = m \left( \frac{\cos(\alpha) \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha) \cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} \right)$

Числитель в скобках является формулой синуса разности двух углов: $\sin(x-y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$. В нашем случае $x = \alpha + \beta$ и $y = \alpha$.

$\sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha) - \cos(\alpha + \beta) \sin(\alpha) = \sin((\alpha + \beta) - \alpha) = \sin(\beta)$

Таким образом, окончательное выражение для AK имеет вид:

$AK = m \frac{\sin(\beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$

Ответ: $AK = \frac{m \sin(\beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$

210. В трапеции $ABCD$ (рис. 76) $BC = 4$ см, $CD = 6$ см, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle D = 135^{\circ}$. Найдите основание $AD$ трапеции.

Рис. 76

210. В трапеции ABCD (рис. 76) $BC = 4 \text{ см}$, $CD = 6 \text{ см}$, $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle D = 135^{\circ}$. Найдите основание AD трапеции.

Рис. 76

Для нахождения основания AD трапеции ABCD воспользуемся методом дополнительного построения.

1. Построение

Проведем через вершину B прямую, параллельную боковой стороне CD. Пусть эта прямая пересекает прямую, содержащую основание AD, в точке E.В результате построения мы получаем параллелограмм BCDE (так как $BC \parallel ED$ и $BE \parallel CD$) и треугольник ABE.

2. Свойства параллелограмма

Из свойств параллелограмма BCDE следуют равенства сторон:

• $ED = BC = 4$ см
• $BE = CD = 6$ см

3. Анализ треугольника ABE

Рассмотрим треугольник ABE. Сумма двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, не всегда равна $180^{\circ}$. Однако, сумма углов в треугольнике всегда равна $180^{\circ}$. Если бы точка E лежала между A и D, то в $\triangle ABE$ угол при вершине A был бы равен $60^{\circ}$, а угол при вершине E был бы равен $\angle CDA = 135^{\circ}$ (как соответственные углы при $BE \parallel CD$ и секущей AD). Сумма этих двух углов $60^{\circ} + 135^{\circ} = 195^{\circ}$, что больше $180^{\circ}$. Это невозможно для треугольника.

Следовательно, точка E лежит на продолжении основания AD за точку A. Порядок точек на прямой следующий: E-A-D.

Найдем углы в треугольнике ABE:

• Угол $\angle BAE$ является смежным с углом $\angle A$ трапеции, поэтому $\angle BAE = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
• Угол $\angle AEB$. Так как $BE \parallel CD$, то угол $\angle AEB$ и угол, смежный с $\angle D$ трапеции, равны как соответственные углы при секущей ED. Угол, смежный с $\angle D$, равен $180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$. Следовательно, $\angle AEB = 45^{\circ}$.
• Третий угол треугольника $\angle ABE = 180^{\circ} - (\angle BAE + \angle AEB) = 180^{\circ} - (120^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 165^{\circ} = 15^{\circ}$.

4. Применение теоремы синусов

Теперь, зная все углы и одну сторону ($BE = 6$ см) в треугольнике ABE, мы можем найти длину стороны AE по теореме синусов:

$\frac{AE}{\sin(\angle ABE)} = \frac{BE}{\sin(\angle BAE)}$

$\frac{AE}{\sin(15^{\circ})} = \frac{6}{\sin(120^{\circ})}$

Выразим AE:

$AE = \frac{6 \cdot \sin(15^{\circ})}{\sin(120^{\circ})}$

Нам понадобятся значения синусов:

$\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(15^{\circ}) = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ}) - \cos(45^{\circ})\sin(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Подставим значения в формулу для AE:

$AE = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$ для избавления от иррациональности в знаменателе:

$AE = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{2})\sqrt{3}}{3} = (\sqrt{6} - \sqrt{2})\sqrt{3} = \sqrt{18} - \sqrt{6} = 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$ см.

5. Нахождение основания AD

Так как точки на прямой расположены в порядке E-A-D, то длина основания AD равна разности длин отрезков ED и AE:

$AD = ED - AE = 4 - (3\sqrt{2} - \sqrt{6}) = 4 - 3\sqrt{2} + \sqrt{6}$ см.

Ответ: $AD = (4 - 3\sqrt{2} + \sqrt{6})$ см.

211. Найдите сумму углов выпуклого десятиугольника.

211. Найдите сумму углов выпуклого десятиугольника.

211. Для нахождения суммы внутренних углов выпуклого многоугольника используется следующая формула:
$S = (n - 2) \cdot 180^\circ$
где $S$ — это сумма углов, а $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника.

В условии задачи дан десятиугольник. Это многоугольник, у которого 10 сторон. Следовательно, в нашем случае $n = 10$.

Подставим значение $n = 10$ в формулу и выполним вычисления:
$S = (10 - 2) \cdot 180^\circ$
$S = 8 \cdot 180^\circ$
$S = 1440^\circ$

Таким образом, сумма углов выпуклого десятиугольника составляет $1440^\circ$.

Ответ: $1440^\circ$.

212. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна:

1) $1560^{\circ}$;

2) $1620$?

212. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна:

1) $1560^\circ$;

2) $1620^\circ$?

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с $n$ сторонами вычисляется по формуле: $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$. Чтобы такой многоугольник существовал, количество его сторон $n$ должно быть целым числом, не меньшим 3 ($n \ge 3, n \in \mathbb{Z}$). Проверим, можно ли найти такое $n$ для каждой из заданных сумм углов.

1) 1560°

Подставим данную сумму углов в формулу и найдем $n$:
$(n - 2) \cdot 180^\circ = 1560^\circ$
$n - 2 = \frac{1560}{180}$
$n - 2 = \frac{156}{18} = \frac{26}{3}$
$n = \frac{26}{3} + 2 = \frac{26}{3} + \frac{6}{3} = \frac{32}{3}$
Поскольку число сторон $n = \frac{32}{3}$ не является целым, выпуклый многоугольник с суммой углов $1560^\circ$ не существует.
Ответ: не существует.

2) 1620°

Подставим данную сумму углов в формулу и найдем $n$:
$(n - 2) \cdot 180^\circ = 1620^\circ$
$n - 2 = \frac{1620}{180}$
$n - 2 = \frac{162}{18} = 9$
$n = 9 + 2 = 11$
Поскольку число сторон $n = 11$ является целым числом, и $11 \ge 3$, то выпуклый многоугольник с суммой углов $1620^\circ$ существует. Это 11-угольник.
Ответ: существует.